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EVAU Matemáticas II - Modelo de Examen 2
EXAMEN TIPO EVAUComunidad de Madrid - Duración: 90 minutos - Puntuación máxima: 10 puntos
BLOQUE 1 - ÁLGEBRA
Opción B:
Dadas las matrices:
A = (2 1) B = (1 0)
(0 3) (2 1)
a) Calcule A-1 (la matriz inversa de A). (1 punto)
b) Resuelva la ecuación matricial: AX + B = A2. (1,5 puntos)
BLOQUE 2 - ANÁLISIS
Opción B:
Sea la función f(x) = x · e-x
a) Halle los extremos relativos y la asíntota horizontal de f. (1,5 puntos)
b) Calcule la integral: integral de 0 a 1 de x · e-x dx. (1 punto)
BLOQUE 3 - GEOMETRÍA
Opción B:
Dada la recta r: (x-1)/2 = (y+1)/1 = z/(-1) y el plano pi: x + y + z = 3.
a) Compruebe que la recta y el plano son secantes y halle el punto de intersección. (1,25 puntos)
b) Calcule el angulo que forman la recta y el plano. (1,25 puntos)
BLOQUE 4 - PROBABILIDAD
Opción B:
La estatura de los estudiantes de un instituto sigue una distribución Normal de media 170 cm y desviación típica 8 cm.
a) Que porcentaje de estudiantes mide entre 162 cm y 178 cm? (1 punto)
b) Si se eligen 200 estudiantes al azar, cuantos se espera que midan mas de 186 cm? (0,75 puntos)
c) Determine el valor de k tal que P(170 - k ≤ X ≤ 170 + k) = 0.95. (0,75 puntos)
SOLUCIÓNSOLUCIÓN COMPLETA - MODELO 2
BLOQUE 1 - ÁLGEBRA (2,5 puntos)
a) A-1:
|A| = 2*3 - 1*0 = 6 ≠ 0, existe inversa.
Adj(A) = ( 3 -1) → Adj(A)T = ( 3 0)
( 0 2) (-1 2)
A-1 = (1/6) * ( 3 0) = (1/2 0 )
(-1 2) (-1/6 1/3)
b) AX + B = A2:
AX = A2 - B
X = A-1(A2 - B)
A2 = (2 1)(2 1) = (4 5)
(0 3)(0 3) (0 9)
A2 - B = (4-1 5-0) = (3 5)
(0-2 9-1) (-2 8)
X = A-1(A2-B) = (1/2 0 )(3 5) = (3/2 5/2)
(-1/6 1/3)(-2 8) (-7/6 7/6)
BLOQUE 2 - ANÁLISIS (2,5 puntos)
a) f(x) = x · e-x:
f'(x) = e-x + x(-e-x) = e-x(1 - x)
f'(x) = 0 → 1 - x = 0 → x = 1
f'(x) > 0 si x < 1 (creciente)
f'(x) < 0 si x > 1 (decreciente)
Máximo relativo en x = 1: f(1) = 1/e (aprox. 0.368)
Asíntota horizontal:
lim (x → +inf) x/ex = 0 (exponencial crece mas que polinomio)
y = 0 es asíntota horizontal cuando x → +inf.
b) Integral por partes:
u = x → du = dx
dv = e-xdx → v = -e-x
integral xe-xdx = -xe-x + integral e-xdx = -xe-x - e-x + C
= -e-x(x + 1) + C
De 0 a 1:
[-e-x(x+1)] de 0 a 1 = [-e-1(2)] - [-e0(1)]
= -2/e + 1 = 1 - 2/e (aprox. 0.264)
BLOQUE 3 - GEOMETRÍA (2,5 puntos)
a) Intersección recta-plano:
Paramétricas de r: x=1+2t, y=-1+t, z=-t
Sustituimos en pi: (1+2t)+(-1+t)+(-t) = 3
1+2t-1+t-t = 3
2t = 3 → t = 3/2
Como hay solución única, son secantes.
Punto: x=1+3=4, y=-1+3/2=1/2, z=-3/2
P(4, 1/2, -3/2)
b) Angulo recta-plano:
Vector director de r: d = (2, 1, -1)
Vector normal del plano: n = (1, 1, 1)
sen(alfa) = |d · n| / (|d| · |n|)
= |2+1-1| / (sqrt(6) · sqrt(3))
= 2 / sqrt(18) = 2 / (3sqrt(2))
= sqrt(2)/3
alfa = arcsen(sqrt(2)/3) ≈ 28.13 grados
BLOQUE 4 - PROBABILIDAD (2,5 puntos)
X ~ N(170, 8)
a) P(162 ≤ X ≤ 178):
Z1 = (162-170)/8 = -1
Z2 = (178-170)/8 = 1
P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 2*Phi(1) - 1 = 2*0.8413 - 1 = 0.6826 (68.26%)
b) P(X > 186):
Z = (186-170)/8 = 2
P(Z > 2) = 1 - Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228
Esperados: 200 * 0.0228 = 4.56 ≈ 4 o 5 estudiantes
c) P(170-k ≤ X ≤ 170+k) = 0.95:
Por simetría de la Normal:
P(-k/8 ≤ Z ≤ k/8) = 0.95
2*Phi(k/8) - 1 = 0.95
Phi(k/8) = 0.975
k/8 = 1.96
k = 15.68 cm