Modelo 1: Álgebra + Análisis + Geometría + Probabilidad

Modelo 1 de Matemáticas II: Álgebra, Análisis, Geometría y Probabilidad

Introducción

Este es un examen modelo de Matemáticas II de la EVAU (PAU) con un problema de cada bloque: Álgebra, Análisis, Geometría y Probabilidad. Intenta resolverlo primero en 90 minutos, sin mirar las soluciones, y después corrígelo con el desarrollo completo. La estructura real (número de problemas y optatividad) depende de cada comunidad autónoma.

Enunciados

Problema 1 (2,5 puntos). Álgebra. Dado el sistema: x + y + az = 1; x + ay + z = 1; ax + y + z = 1.
a) Clasifícalo según los valores del parámetro a.
b) Resuélvelo para a = 0.

Problema 2 (2,5 puntos). Análisis. Dada f(x) = (x² − 1) / (x² + 1):
a) Halla su dominio, su simetría y sus asíntotas.
b) Estudia su monotonía y sus extremos relativos.
c) Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x² e y = x.

Problema 3 (2,5 puntos). Geometría. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(2, 1, 0) y C(0, 1, 2):
a) Halla la ecuación del plano que los contiene.
b) Calcula el área del triángulo ABC.
c) Calcula la distancia del origen a ese plano.

Problema 4 (2,5 puntos). Probabilidad. Una fábrica tiene dos máquinas: M1 produce el 60 % de las piezas y M2 el 40 %. El 2 % de las piezas de M1 y el 5 % de las de M2 son defectuosas.
a) Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.
b) Si una pieza es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado M2?

Soluciones

Problema 1. El determinante de la matriz de coeficientes es |A| = −(a − 1)²(a + 2), que se anula para a = 1 y a = −2.

• Si a ≠ 1 y a ≠ −2: rango(A) = rango(A*) = 3 = número de incógnitas. Sistema compatible determinado.
• Si a = 1: las tres ecuaciones son x + y + z = 1. Rango(A) = rango(A*) = 1 < 3. Compatible indeterminado (dos parámetros).
• Si a = −2: rango(A) = 2 y rango(A*) = 3 (sumando las tres ecuaciones se obtiene 0 = 3). Incompatible.
• b) Para a = 0: x + y = 1, x + z = 1, y + z = 1. Sumando: 2(x + y + z) = 3, luego x + y + z = 3/2 y x = y = z = 1/2. Comprobación: 1/2 + 1/2 = 1 en las tres ecuaciones.

Problema 2.

• a) El denominador x² + 1 nunca se anula: dominio = ℝ. Como f(−x) = f(x), la función es par (simétrica respecto del eje OY). No tiene asíntotas verticales. Como el límite cuando x tiende a ±∞ es 1, tiene la asíntota horizontal y = 1, y por tanto no tiene oblicuas.
• b) f'(x) = 4x / (x² + 1)². El denominador es siempre positivo, así que el signo depende de 4x: f es decreciente en (−∞, 0) y creciente en (0, +∞). Tiene un mínimo relativo en (0, −1).
• c) Las curvas se cortan cuando x² = x, es decir, en x = 0 y x = 1. En ese intervalo x ≥ x². Área = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 u².

Problema 3.

• a) AB = (1, 1, −1) y AC = (−1, 1, 1). Vector normal: AB × AC = (2, 0, 2), o bien (1, 0, 1). Plano: 1(x − 1) + 0(y − 0) + 1(z − 1) = 0, es decir, x + z − 2 = 0. Comprobación: B da 2 + 0 − 2 = 0 y C da 0 + 2 − 2 = 0.
• b) Área = |AB × AC| / 2 = √(4 + 0 + 4) / 2 = √8 / 2 = √2 u².
• c) d(O, π) = |0 + 0 − 2| / √(1² + 0² + 1²) = 2/√2 = √2 u.

Problema 4. Sea D = «la pieza es defectuosa».

• a) Teorema de la probabilidad total: P(D) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032 (un 3,2 %).
• b) Teorema de Bayes: P(M2 | D) = 0,020 / 0,032 = 0,625. Aunque M2 fabrica menos piezas, es la responsable del 62,5 % de las defectuosas porque su porcentaje de defectos es mayor.

Criterios de corrección

• Se valora el planteamiento aunque el resultado final no sea correcto.
• Hay que justificar cada paso: un resultado sin razonamiento puntúa poco.
• Comprueba siempre los resultados (sustituir la solución en el sistema, los puntos en el plano).

Ejercicios