Estás viendo el contenido de esta lección en modo lectura. Los ejercicios no se corrigen aquí — accede con una cuenta gratuita para practicar con corrección automática y guardar tu progreso.
Vectores en el espacio R3
Vectores y operaciones
Un vector en R3 es una terna ordenada v = (v1, v2, v3). Dado dos puntos A(a1,a2,a3) y B(b1,b2,b3), el vector AB = B - A = (b1-a1, b2-a2, b3-a3).
Operaciones básicas
- Suma: u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
- Producto por escalar: k*v = (k*v1, k*v2, k*v3)
Dependencia e independencia lineal
Los vectores u, v, w son linealmente independientes si det([u, v, w]) ≠ 0. Si det = 0, son linealmente dependientes (coplanarios).
Producto escalar
u · v = u1*v1 + u2*v2 + u3*v3 = |u| * |v| * cos(α)
Donde |u| = (u12 + u22 + u32)1/2 es el modulo del vector.
Recuerda
Dos vectores son perpendiculares (ortogonales) si y solo si u · v = 0.
Producto vectorial
El producto vectorial u x v es un vector perpendicular a u y a v:
u x v = det([[i, j, k], [u1, u2, u3], [v1, v2, v3]])
Es decir: u x v = (u2*v3 - u3*v2, u3*v1 - u1*v3, u1*v2 - u2*v1)
|u x v| = área del paralelogramo formado por u y v.
Producto mixto
[u, v, w] = u · (v x w) = det([[u1, u2, u3], [v1, v2, v3], [w1, w2, w3]])
|[u, v, w]| = volumen del paralelepípedo formado por u, v, w.
Ejemplo resuelto
Dados u = (1, 2, -1) y v = (3, 0, 2):
Producto escalar: u · v = 1*3 + 2*0 + (-1)*2 = 1
Producto vectorial: u x v = (2*2-(-1)*0, (-1)*3-1*2, 1*0-2*3) = (4, -5, -6)
Modulo de u: |u| = (1+4+1)1/2 = 61/2
Angulo: cos(α) = 1/(61/2 * 131/2) = 1/781/2
Ejercicio tipo EVAU
Problema EVAU: Dados los vectores u = (1, a, 2), v = (0, 1, -1) y w = (2, 1, a):
a) Determina los valores de a para los que u, v, w son coplanarios.
b) Para a = 0, calcula el volumen del paralelepípedo definido por u, v, w.
c) Para a = 1, calcula el área del triangulo de vértices O(0,0,0), A(1,1,2) y B(0,1,-1).
📋 Resumen de la lección- Suma:
- Producto por escalar:
- linealmente independientes
- Recuerda
- |u x v|
- Ejemplo resuelto
- Producto escalar:
- Producto vectorial:
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en Vectores en R3: operaciones, producto escalar, vectorial y mixto lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Vectores en R3: operaciones, producto escalar, vectorial y mixto.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.