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Sistemas: métodos de resolución

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Introducción

En 2.º de Bachillerato los sistemas de ecuaciones lineales se estudian con las herramientas del álgebra matricial. Además de los métodos clásicos (sustitución, igualación y reducción), aprenderás tres métodos más potentes: el método de Gauss, la regla de Cramer y la resolución mediante la matriz inversa, junto con el teorema de Rouché-Fröbenius, que permite saber cuántas soluciones tiene un sistema antes de resolverlo.

Explicación

Un sistema lineal se escribe en forma matricial como A · X = B, donde A es la matriz de coeficientes, X la columna de incógnitas y B la columna de términos independientes. La matriz ampliada A* se obtiene añadiendo B a A como última columna.

Teorema de Rouché-Fröbenius. Sea n el número de incógnitas:

Método de Gauss. Se transforma la matriz ampliada en una matriz escalonada mediante operaciones elementales por filas: intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar a una fila un múltiplo de otra. Después se resuelve de abajo arriba. Es el método más general: sirve para cualquier sistema y además permite clasificarlo (una fila 0 0 0 | k con k ≠ 0 indica que es incompatible).

Regla de Cramer. Solo se aplica a sistemas con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y |A| ≠ 0. Cada incógnita es un cociente de determinantes: x = |Ax| / |A|, donde Ax es la matriz A con la columna de x sustituida por B (análogo para y, z).

Matriz inversa. Si A es cuadrada y |A| ≠ 0, existe A−1 y la solución es X = A−1 · B.

¿Qué método elegir? Para clasificar y resolver sistemas con parámetros se combina Rouché (rangos mediante determinantes) con Gauss o Cramer. Para sistemas 2×2 sencillos siguen siendo útiles la sustitución, la igualación y la reducción.

Ejemplo

Ejemplo 1 (Gauss). Resuelve: x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2.

Ejemplo 2 (Cramer). Resuelve: 3x + 2y = 7; x − y = −1.

Ejercicios

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, ¿cómo es el sistema x + y = 2; 2x + 2y = 5?

Resuelve por Cramer el sistema 2x + y = 5; x − y = 1. ¿Cuánto vale x?

Material adicional

Integrales: primitivas e integral definida

1. Concepto de primitiva (integral indefinida)

Una función F(x) es una primitiva (o antiderivada) de f(x) si F'(x) = f(x). La integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas:

∫ f(x) dx = F(x) + C   (C ∈ ℝ, constante de integración)

La constante C es necesaria porque si F'(x) = f(x), también [F(x) + C]' = f(x) para cualquier constante C. La integral indefinida es una operación inversa de la derivación.

2. Integrales inmediatas

f(x)∫ f(x) dx
kkx + C
xⁿ (n ≠ −1)xⁿ⁺¹/(n+1) + C
1/xln|x| + C
eˣeˣ + C
aˣaˣ/ln a + C
sen x−cos x + C
cos xsen x + C
1/cos²x = sec²xtan x + C
1/(1+x²)arctan x + C
1/√(1−x²)arcsen x + C

Propiedades de la integral indefinida (linealidad):

• ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
• ∫k · f(x) dx = k · ∫f(x) dx

3. Métodos de integración

Integración por sustitución (cambio de variable)

Si u = g(x), entonces du = g'(x)dx y:

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du

Tras integrar en u, se deshace el cambio sustituyendo u = g(x).

📘 Ejemplo resuelto
Calcula ∫ 2x · cos(x²) dx.

Cambio: u = x² → du = 2x dx
∫ cos(u) du = sen(u) + C = sen(x²) + C
📘 Ejemplo resuelto
Calcula ∫ x / √(1 + x²) dx.

Cambio: u = 1 + x² → du = 2x dx → x dx = du/2
∫ (1/√u) · (du/2) = (1/2) ∫ u⁻¹/² du = (1/2) · 2u¹/² + C = √(1 + x²) + C

Integración por partes

∫ u dv = uv − ∫ v du

Se elige u (la parte que se simplifica al derivar) y dv (lo que se puede integrar). Regla mnemotécnica LÍATE para elegir u: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales.

📘 Ejemplo resuelto
Calcula ∫ x · eˣ dx.

Elegimos: u = x → du = dx;  dv = eˣ dx → v = eˣ
∫ x · eˣ dx = x · eˣ − ∫ eˣ dx = xeˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C
📘 Ejemplo resuelto
Calcula ∫ ln x dx.

u = ln x → du = dx/x;  dv = dx → v = x
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C

Integración de funciones racionales (fracciones simples)

Para ∫ P(x)/Q(x) dx donde gr(P) < gr(Q):

1. Se factoriza Q(x).
2. Se descompone en fracciones simples.
3. Se integra cada fracción por separado.

Tipos de fracciones simples:

TipoFracciónIntegral
Factor lineal simpleA/(x − a)A · ln|x − a|
Factor lineal repetidoA/(x − a)²−A/(x − a)
Factor cuadrático(Ax + B)/(x² + px + q)Combinación de ln y arctan
📘 Ejemplo resuelto
Calcula ∫ (3x + 5) / [(x − 1)(x + 2)] dx.

Descomposición: (3x + 5)/[(x−1)(x+2)] = A/(x−1) + B/(x+2)
3x + 5 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1: 8 = 3A → A = 8/3
x = −2: −1 = −3B → B = 1/3

∫ [(8/3)/(x−1) + (1/3)/(x+2)] dx = (8/3)ln|x−1| + (1/3)ln|x+2| + C

4. Integral definida

La integral definida de f en [a, b] se define como el límite de las sumas de Riemann:

∫ab f(x) dx = limn→∞ Σ f(xᵢ*) · Δx

Geométricamente, si f(x) ≥ 0, la integral definida es el área bajo la curva y = f(x) entre x = a y x = b.

📐 Teorema
Teorema fundamental del cálculo (Barrow): Si f es continua en [a, b] y F es una primitiva de f, entonces:

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ab

Este teorema conecta el cálculo integral con el diferencial: integrar es «sumar» lo que la derivada «descompone».

Propiedades de la integral definida

• ∫aa f(x) dx = 0
• ∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx
• ∫ab [f(x) ± g(x)] dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx
• ∫ab k·f(x) dx = k · ∫ab f(x) dx
• ∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx (aditividad)

📘 Ejemplo resuelto
Calcula ∫0π sen x dx.

∫ sen x dx = −cos x + C
[−cos x]0π = −cos π − (−cos 0) = −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2

5. Cálculo de áreas

El área entre f(x) y el eje X en [a, b]:

• Si f(x) ≥ 0 en [a, b]: Área = ∫ab f(x) dx.
• Si f(x) ≤ 0 en [a, b]: Área = −∫ab f(x) dx = ∫ab |f(x)| dx.
• Si f cambia de signo: se divide en intervalos y se calcula cada trozo por separado.

Área entre dos curvas f(x) y g(x) en [a, b] (con f(x) ≥ g(x)):

Área = ∫ab [f(x) − g(x)] dx
📘 Ejemplo resuelto
(EVAU) Calcula el área encerrada entre y = x² y y = 2x.

Puntos de corte: x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x − 2) = 0 → x = 0 y x = 2.
En [0, 2]: 2x ≥ x² (la recta está por encima).

Área = ∫02 (2x − x²) dx = [x² − x³/3]02 = (4 − 8/3) − 0 = 12/3 − 8/3 = 4/3 u²
✏️ Ejercicios propuestos
1. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
  a) ∫ (3x² − 2x + 5) dx
  b) ∫ (eˣ + 1/x) dx
  c) ∫ sen(3x) dx

2. Por sustitución: a) ∫ x² · √(x³ + 1) dx;  b) ∫ eˢᵉⁿˣ · cos x dx.

3. Por partes: a) ∫ x · cos x dx;  b) ∫ x² · eˣ dx;  c) ∫ arctan x dx.

4. Fracciones simples: ∫ (2x + 1) / (x² − x − 2) dx.

5. Calcula: ∫1e (ln x)/x dx.

6. Calcula el área encerrada entre y = x³ − x y el eje X.

7. (EVAU) Calcula el área entre y = eˣ, y = e, y las rectas x = 0 y x = 1.

8. (EVAU) Calcula el área encerrada entre y = 4 − x² e y = x² − 2x.

9. Calcula ∫01 x · e⁻ˣ dx.

10. Demuestra que ∫−aa f(x) dx = 0 si f es una función impar y continua.
🤔 ¿Sabías que...?
El teorema fundamental del cálculo fue descubierto independientemente por Newton (ca. 1666) y Leibniz (ca. 1675), aunque la primera publicación fue la de Leibniz en 1684. Este teorema, que conecta la derivación con la integración, es considerado por muchos matemáticos como el resultado más importante de las matemáticas. Bernhard Riemann (1826-1866) formalizó la integral que lleva su nombre, y Henri Lebesgue (1875-1941) la generalizó aún más en el siglo XX.
📋 Resumen de la lección
  • ∫ f(x) dx = F(x) + C donde F'(x) = f(x); la integral indefinida es la operación inversa de la derivada.
  • Métodos: sustitución (cambio u = g(x)), por partes (∫u dv = uv − ∫v du), fracciones simples.
  • Regla de Barrow: ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a).
  • Si f ≥ 0, la integral definida es el área bajo la curva; si f cambia de signo, se descompone.
  • Área entre curvas: ∫[f(x) − g(x)] dx donde f ≥ g en el intervalo.
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