Integrales: primitivas e integral definida
1. Concepto de primitiva (integral indefinida)
Una función F(x) es una primitiva (o antiderivada) de f(x) si F'(x) = f(x). La integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas:
∫ f(x) dx = F(x) + C (C ∈ ℝ, constante de integración)
La constante C es necesaria porque si F'(x) = f(x), también [F(x) + C]' = f(x) para cualquier constante C. La integral indefinida es una operación inversa de la derivación.
2. Integrales inmediatas
| f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|
| k | kx + C |
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sen x | −cos x + C |
| cos x | sen x + C |
| 1/cos²x = sec²x | tan x + C |
| 1/(1+x²) | arctan x + C |
| 1/√(1−x²) | arcsen x + C |
Propiedades de la integral indefinida (linealidad):
• ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
• ∫k · f(x) dx = k · ∫f(x) dx
3. Métodos de integración
Integración por sustitución (cambio de variable)
Si u = g(x), entonces du = g'(x)dx y:
∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du
Tras integrar en u, se deshace el cambio sustituyendo u = g(x).
📘 Ejemplo resueltoCalcula ∫ 2x · cos(x²) dx.
Cambio: u = x² → du = 2x dx
∫ cos(u) du = sen(u) + C = sen(x²) + C
📘 Ejemplo resueltoCalcula ∫ x / √(1 + x²) dx.
Cambio: u = 1 + x² → du = 2x dx → x dx = du/2
∫ (1/√u) · (du/2) = (1/2) ∫ u⁻¹/² du = (1/2) · 2u¹/² + C = √(1 + x²) + C
Integración por partes
∫ u dv = uv − ∫ v du
Se elige u (la parte que se simplifica al derivar) y dv (lo que se puede integrar). Regla mnemotécnica LÍATE para elegir u: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales.
📘 Ejemplo resueltoCalcula ∫ x · eˣ dx.
Elegimos: u = x → du = dx; dv = eˣ dx → v = eˣ
∫ x · eˣ dx = x · eˣ − ∫ eˣ dx = xeˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C
📘 Ejemplo resueltoCalcula ∫ ln x dx.
u = ln x → du = dx/x; dv = dx → v = x
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C
Integración de funciones racionales (fracciones simples)
Para ∫ P(x)/Q(x) dx donde gr(P) < gr(Q):
1. Se factoriza Q(x).
2. Se descompone en fracciones simples.
3. Se integra cada fracción por separado.
Tipos de fracciones simples:
| Tipo | Fracción | Integral |
|---|
| Factor lineal simple | A/(x − a) | A · ln|x − a| |
| Factor lineal repetido | A/(x − a)² | −A/(x − a) |
| Factor cuadrático | (Ax + B)/(x² + px + q) | Combinación de ln y arctan |
📘 Ejemplo resueltoCalcula ∫ (3x + 5) / [(x − 1)(x + 2)] dx.
Descomposición: (3x + 5)/[(x−1)(x+2)] = A/(x−1) + B/(x+2)
3x + 5 = A(x + 2) + B(x − 1)
x = 1: 8 = 3A → A = 8/3
x = −2: −1 = −3B → B = 1/3
∫ [(8/3)/(x−1) + (1/3)/(x+2)] dx = (8/3)ln|x−1| + (1/3)ln|x+2| + C
4. Integral definida
La integral definida de f en [a, b] se define como el límite de las sumas de Riemann:
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σ f(xᵢ*) · Δx
Geométricamente, si f(x) ≥ 0, la integral definida es el área bajo la curva y = f(x) entre x = a y x = b.
📐 TeoremaTeorema fundamental del cálculo (Barrow): Si f es continua en [a, b] y F es una primitiva de f, entonces:
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ab
Este teorema conecta el cálculo integral con el diferencial: integrar es «sumar» lo que la derivada «descompone».
Propiedades de la integral definida
• ∫aa f(x) dx = 0
• ∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx
• ∫ab [f(x) ± g(x)] dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx
• ∫ab k·f(x) dx = k · ∫ab f(x) dx
• ∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx (aditividad)
📘 Ejemplo resueltoCalcula ∫0π sen x dx.
∫ sen x dx = −cos x + C
[−cos x]0π = −cos π − (−cos 0) = −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2
5. Cálculo de áreas
El área entre f(x) y el eje X en [a, b]:
• Si f(x) ≥ 0 en [a, b]: Área = ∫ab f(x) dx.
• Si f(x) ≤ 0 en [a, b]: Área = −∫ab f(x) dx = ∫ab |f(x)| dx.
• Si f cambia de signo: se divide en intervalos y se calcula cada trozo por separado.
Área entre dos curvas f(x) y g(x) en [a, b] (con f(x) ≥ g(x)):
Área = ∫ab [f(x) − g(x)] dx
📘 Ejemplo resuelto(EVAU) Calcula el área encerrada entre y = x² y y = 2x.
Puntos de corte: x² = 2x → x² − 2x = 0 → x(x − 2) = 0 → x = 0 y x = 2.
En [0, 2]: 2x ≥ x² (la recta está por encima).
Área = ∫02 (2x − x²) dx = [x² − x³/3]02 = (4 − 8/3) − 0 = 12/3 − 8/3 = 4/3 u²
✏️ Ejercicios propuestos1. Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a) ∫ (3x² − 2x + 5) dx
b) ∫ (eˣ + 1/x) dx
c) ∫ sen(3x) dx
2. Por sustitución: a) ∫ x² · √(x³ + 1) dx; b) ∫ eˢᵉⁿˣ · cos x dx.
3. Por partes: a) ∫ x · cos x dx; b) ∫ x² · eˣ dx; c) ∫ arctan x dx.
4. Fracciones simples: ∫ (2x + 1) / (x² − x − 2) dx.
5. Calcula: ∫1e (ln x)/x dx.
6. Calcula el área encerrada entre y = x³ − x y el eje X.
7. (EVAU) Calcula el área entre y = eˣ, y = e, y las rectas x = 0 y x = 1.
8. (EVAU) Calcula el área encerrada entre y = 4 − x² e y = x² − 2x.
9. Calcula ∫01 x · e⁻ˣ dx.
10. Demuestra que ∫−aa f(x) dx = 0 si f es una función impar y continua.
🤔 ¿Sabías que...?El teorema fundamental del cálculo fue descubierto independientemente por Newton (ca. 1666) y Leibniz (ca. 1675), aunque la primera publicación fue la de Leibniz en 1684. Este teorema, que conecta la derivación con la integración, es considerado por muchos matemáticos como el resultado más importante de las matemáticas. Bernhard Riemann (1826-1866) formalizó la integral que lleva su nombre, y Henri Lebesgue (1875-1941) la generalizó aún más en el siglo XX.
📋 Resumen de la lección- ∫ f(x) dx = F(x) + C donde F'(x) = f(x); la integral indefinida es la operación inversa de la derivada.
- Métodos: sustitución (cambio u = g(x)), por partes (∫u dv = uv − ∫v du), fracciones simples.
- Regla de Barrow: ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a).
- Si f ≥ 0, la integral definida es el área bajo la curva; si f cambia de signo, se descompone.
- Área entre curvas: ∫[f(x) − g(x)] dx donde f ≥ g en el intervalo.