Distribuciones de probabilidad: binomial y normal
1. Variables aleatorias
Una variable aleatoria X es una función que asigna un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio. Puede ser:
• Discreta: toma valores aislados (finitos o numerables). Ejemplo: nº de caras al lanzar 5 monedas.
• Continua: puede tomar cualquier valor en un intervalo. Ejemplo: altura de una persona elegida al azar.
Distribución de probabilidad discreta
Se define mediante una función de probabilidad P(X = xᵢ) = pᵢ con:
• pᵢ ≥ 0 para todo i.
• Σ pᵢ = 1.
Esperanza, varianza y desviación típica
E(X) = μ = Σ xᵢ · pᵢ (media teórica)
Var(X) = σ² = Σ (xᵢ − μ)² · pᵢ = E(X²) − [E(X)]²
σ = √Var(X) (desviación típica)
2. Distribución binomial B(n, p)
Un experimento de Bernoulli tiene dos resultados posibles: éxito (probabilidad p) o fracaso (probabilidad q = 1 − p). Si se repite n veces de forma independiente, la variable X = "número de éxitos" sigue una distribución binomial B(n, p).
Función de probabilidad
P(X = k) = C(n, k) · pk · qn−k (k = 0, 1, ..., n)
donde C(n, k) = n! / [k!(n−k)!] es el número combinatorio.
Parámetros
μ = E(X) = n · p | σ² = Var(X) = n · p · q | σ = √(npq)
📘 Ejemplo resueltoSe lanza una moneda equilibrada 10 veces. Calcula P(X = 3) y P(X ≥ 8).
X ~ B(10, 0.5). q = 0.5.
P(X = 3) = C(10,3) · 0.5³ · 0.5⁷ = 120 · 0.5¹⁰ = 120/1024 ≈ 0.1172
P(X ≥ 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)
= C(10,8)·0.5¹⁰ + C(10,9)·0.5¹⁰ + C(10,10)·0.5¹⁰
= (45 + 10 + 1)/1024 = 56/1024 ≈ 0.0547
📘 Ejemplo resueltoEn una fábrica, el 5% de las piezas son defectuosas. Se toman 20 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 2 defectuosas?
X ~ B(20, 0.05)
P(X = 2) = C(20,2) · 0.05² · 0.95¹⁸
= 190 · 0.0025 · 0.3972
= 190 · 0.000993 ≈ 0.1887
μ = 20 · 0.05 = 1; σ = √(20 · 0.05 · 0.95) ≈ 0.97
3. Distribución normal N(μ, σ)
La distribución normal (o gaussiana) es la distribución continua más importante. Su función de densidad es la campana de Gauss:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) · e−(x−μ)²/(2σ²)
Propiedades:
• La curva es simétrica respecto de x = μ.
• La media, la mediana y la moda coinciden en μ.
• Los puntos de inflexión están en x = μ ± σ.
• El área total bajo la curva es 1.
Regla empírica (68-95-99.7)
| Intervalo | Probabilidad |
|---|
| (μ − σ, μ + σ) | ≈ 68.27% |
| (μ − 2σ, μ + 2σ) | ≈ 95.45% |
| (μ − 3σ, μ + 3σ) | ≈ 99.73% |
Normal estándar N(0, 1)
La normal estándar (o tipificada) es la distribución N(0, 1). Cualquier variable X ~ N(μ, σ) se puede tipificar mediante el cambio:
Z = (X − μ) / σ → Z ~ N(0, 1)
La función de distribución Φ(z) = P(Z ≤ z) se consulta en las tablas de la normal.
Propiedades de Φ(z):
• Φ(−z) = 1 − Φ(z) (por simetría).
• P(Z > z) = 1 − Φ(z).
• P(a < Z < b) = Φ(b) − Φ(a).
📘 Ejemplo resueltoLas alturas de los alumnos de un instituto siguen una distribución N(170, 8) (media 170 cm, desviación típica 8 cm). Calcula P(X > 180) y P(160 < X < 175).
P(X > 180):
Z = (180 − 170)/8 = 10/8 = 1.25
P(X > 180) = P(Z > 1.25) = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056
P(160 < X < 175):
Z₁ = (160 − 170)/8 = −1.25; Z₂ = (175 − 170)/8 = 0.625
P = Φ(0.625) − Φ(−1.25) = Φ(0.625) − [1 − Φ(1.25)]
= 0.7340 − (1 − 0.8944) = 0.7340 − 0.1056 = 0.6284
4. Aproximación de la binomial por la normal
Cuando n es grande (regla práctica: np ≥ 5 y nq ≥ 5), la distribución B(n, p) se puede aproximar por una normal:
B(n, p) ≈ N(np, √(npq))
Para mejorar la aproximación, se aplica la corrección de continuidad: P(X ≤ k) ≈ P(Z ≤ (k + 0.5 − μ)/σ).
📘 Ejemplo resueltoSe lanza un dado 600 veces. Aproxima la probabilidad de obtener más de 110 veces un "6".
X ~ B(600, 1/6). μ = 600/6 = 100; σ = √(600 · 1/6 · 5/6) = √(500/6) ≈ 9.13
np = 100 ≥ 5, nq = 500 ≥ 5 → se puede aproximar.
P(X > 110) ≈ P(Z > (110.5 − 100)/9.13) = P(Z > 1.15) = 1 − Φ(1.15)
= 1 − 0.8749 = 0.1251
5. Intervalos de confianza para la media (introducción)
Un intervalo de confianza para la media μ de una población normal, con σ conocido, al nivel de confianza 1 − α es:
IC: (x̄ − zα/2 · σ/√n, x̄ + zα/2 · σ/√n)
donde x̄ es la media muestral, n el tamaño de la muestra y zα/2 es el valor crítico de la normal estándar.
| Nivel de confianza | zα/2 |
|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.960 |
| 99% | 2.576 |
📘 Ejemplo resuelto(EVAU) Una máquina produce piezas cuya longitud se distribuye normalmente con σ = 2 mm. Se toma una muestra de 36 piezas y se obtiene x̄ = 50 mm. Construye un intervalo de confianza al 95% para la media.
z0.025 = 1.96; σ/√n = 2/√36 = 2/6 = 1/3
Error: E = 1.96 · 1/3 ≈ 0.653
IC = (50 − 0.653, 50 + 0.653) = (49.35, 50.65)
Con un 95% de confianza, la longitud media de las piezas está entre 49.35 mm y 50.65 mm.
Tamaño muestral
Para obtener un error máximo E con nivel de confianza 1 − α, el tamaño de la muestra necesario es:
n ≥ (zα/2 · σ / E)²
✏️ Ejercicios propuestos1. X ~ B(8, 0.4). Calcula P(X = 3), P(X ≤ 2) y E(X).
2. Un tirador acierta el 70% de sus disparos. Si dispara 12 veces, ¿cuál es la probabilidad de acertar al menos 10?
3. X ~ N(50, 10). Calcula: a) P(X < 65), b) P(40 < X < 60), c) P(X > 35).
4. Halla el valor de k tal que P(−k < Z < k) = 0.95 donde Z ~ N(0,1).
5. La duración de cierto tipo de bombillas sigue N(1200, 100) horas. ¿Qué porcentaje dura más de 1000 horas?
6. (EVAU) Un examen tipo test tiene 50 preguntas con 4 opciones cada una. Un alumno contesta al azar. Aproxima por la normal la probabilidad de acertar 15 o más.
7. (EVAU) Las notas de 400 alumnos siguen N(5.5, 1.5). a) ¿Cuántos alumnos tienen nota ≥ 7? b) ¿Cuál es la nota mínima del 10% mejor?
8. Se mide el peso de 49 paquetes obteniendo x̄ = 500 g. Si σ = 14 g, construye un IC al 99% para la media.
9. ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar la media con un error máximo de 0.5 si σ = 3 y nivel de confianza 95%?
10. (EVAU) Una empresa afirma que sus baterías duran 48 h de media. Se prueba una muestra de 25, obteniéndose x̄ = 47.2 h y σ = 2 h. Construye un IC al 95% y determina si la afirmación es plausible.
🤔 ¿Sabías que...?La distribución normal fue descubierta por Abraham de Moivre en 1733 como aproximación de la binomial. Carl Friedrich Gauss la utilizó extensamente para modelar errores de medición, por lo que a menudo se llama «campana de Gauss». Pierre-Simón Laplace demostró el teorema central del límite: la suma de muchas variables aleatorias independientes tiende a una distribución normal, independientemente de la distribución original. Este resultado explica por qué tantos fenómenos naturales siguen distribuciones aproximadamente normales.
📋 Resumen de la lección- Una variable aleatoria discreta se describe por su función de probabilidad; una continua por su función de densidad.
- B(n, p): P(X=k) = C(n,k)·p^k·q^(n−k); μ = np; σ² = npq.
- N(μ, σ): campana simétrica centrada en μ; se tipifica con Z = (X−μ)/σ.
- Regla 68-95-99.7: probabilidades en 1σ, 2σ y 3σ alrededor de la media.
- Aproximación: B(n,p) ≈ N(np, √npq) si np ≥ 5 y nq ≥ 5 (con corrección de continuidad).
- IC para μ: x̄ ± z_{α/2} · σ/√n; tamaño muestral: n ≥ (z·σ/E)².