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Representación gráfica de funciones
Esquema completo de estudio
- Dominio: valores de x para los que f está definida.
- Simetrías: par (f(-x) = f(x)), impar (f(-x) = -f(x)).
- Cortes con los ejes: con Ox (f(x)=0) y con Oy (f(0)).
- Signo: intervalos donde f > 0 y f < 0.
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.
- Monotonía y extremos: f'(x) = 0, estudio de signo de f'.
- Curvatura e inflexión: f''(x) = 0, estudio de signo de f''.
- Tabla de valores y gráfica.
Ejemplo resuelto
Estudio completo de f(x) = x3/(x2-1):
1. Dominio: R - {-1, 1}
2. Simetrías: f(-x) = (-x)3/((-x)2-1) = -x3/(x2-1) = -f(x). Es impar (simetría respecto al origen).
3. Cortes: Con Ox: x3=0 => x=0 => punto (0,0). Con Oy: f(0) = 0 => punto (0,0).
4. Asíntotas verticales: x = 1 y x = -1.
limx→1+ = +∞, limx→1- = -∞
limx→-1+ = +∞, limx→-1- = -∞
5. Asíntota oblicua: m = limx→∞ f(x)/x = lim x2/(x2-1) = 1.
n = limx→∞ (f(x) - x) = lim (x3-x3+x)/(x2-1) = lim x/(x2-1) = 0.
Asíntota oblicua: y = x.
6. Monotonía: f'(x) = (3x2(x2-1) - x3*2x) / (x2-1)2 = (x4 - 3x2) / (x2-1)2 = x2(x2-3)/(x2-1)2
f'(x) = 0 => x = 0, x = ±31/2. Estudio de signo: creciente en (-∞,-31/2) y (31/2,+∞).
Máximo relativo en x = -31/2: f(-31/2) = -3*31/2/2. Mínimo relativo en x = 31/2: f(31/2) = 3*31/2/2.
Ejercicio tipo EVAU
Problema EVAU: Realiza el estudio completo y la representación gráfica de:
a) f(x) = (x2 - 4) / (x2 - 1)
b) f(x) = x * e-x
c) f(x) = x2 * ln(x)
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Representación gráfica de funciones.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.