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Integrales definidas: regla de Barrow y área bajo la curva
La integral definida
La integral definida de f en [a,b] se define como el limite de las sumas de Riemann:
∫ab f(x) dx = limn→∞ Σi=1n f(xi*) * Δx
Regla de Barrow (Teorema Fundamental del Calculo)
Recuerda
Si f es continua en [a,b] y F es una primitiva de f, entonces:
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
Propiedades de la integral definida
- ∫aa f(x) dx = 0
- ∫ab f(x) dx = -∫ba f(x) dx
- ∫ab (f+g) dx = ∫ab f dx + ∫ab g dx
- ∫ab k*f dx = k * ∫ab f dx
- ∫ab f dx = ∫ac f dx + ∫cb f dx (aditividad)
- Si f(x) ≥ 0 en [a,b], entonces ∫ab f dx ≥ 0
Ejemplo resuelto
∫02 (3x2 - 2x + 1) dx:
F(x) = x3 - x2 + x
F(2) - F(0) = (8 - 4 + 2) - (0) = 6
Calculo de áreas
Área entre una curva y el eje Ox
Si f cambia de signo en [a,b], hay que dividir el intervalo en los puntos donde f(x) = 0:
Área = ∫ac |f(x)| dx + ∫cb |f(x)| dx = |∫ac f(x) dx| + |∫cb f(x) dx|
Área entre dos curvas
Área = ∫ab |f(x) - g(x)| dx
Donde a y b son los puntos de corte de las dos curvas.
Ejemplo resuelto
Calcular el área encerrada entre f(x) = x2 y g(x) = x:
Puntos de corte: x2 = x => x(x-1) = 0 => x = 0, x = 1.
En [0,1]: g(x) ≥ f(x) (la recta esta por encima de la parábola).
Área = ∫01 (x - x2) dx = [x2/2 - x3/3]01 = 1/2 - 1/3 = 1/6 u2
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): Calcula el área de la región limitada por la curva y = x3 - 4x y el eje Ox.
Problema 2 (EVAU): Calcula el área encerrada entre las curvas y = x2 - 2x y la recta y = x.
Problema 3 (EVAU): Calcula ∫01 x*e-x dx.
📋 Resumen de la lección- integral definida
- Recuerda
- Ejemplo resuelto
- Ejemplo resuelto
- Ejercicio tipo EVAU
- Problema 1 (EVAU):
- Problema 2 (EVAU):
- Problema 3 (EVAU):
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en Regla de Barrow y calculo de áreas lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Regla de Barrow y calculo de áreas.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.