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Ejemplos resueltos: Rectas y planos
Ejemplo resuelto
Halla la ecuación del plano que contiene A(1,2,3) con vector normal n=(2,-1,1).
Solución: Ec. general: 2(x-1) - 1(y-2) + 1(z-3) = 0 -> 2x - y + z - 3 = 0. Verificación: 2(1)-2+3-3 = 0.
Ejemplo resuelto
Halla la posición relativa de las rectas r: (x-1)/2 = (y+1)/1 = (z-2)/3 y s: (x-3)/4 = (y-1)/2 = (z)/1.
Solución: Vectores directores: dr=(2,1,3), ds=(4,2,1). No son proporcionales -> no son paralelas. Punto de r: A(1,-1,2), punto de s: B(3,1,0). AB=(2,2,-2). Producto mixto: [dr,ds,AB] = det((2,1,3),(4,2,1),(2,2,-2)) = 2(-4-2)-1(-8-2)+3(8-4) = -12+10+12 = 10 ≠ 0. Se cruzan.
Ejercicios
1. Ecuación de la recta por A(1,0,2) con dirección d=(3,-1,2) en forma paramétrica, continua e implícita.
2. Ecuación del plano por tres puntos: A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
3. Posición relativa de los planos: 2x+y-z=3 y 4x+2y-2z=5.
4. Halla la intersección de la recta r: (x,y,z)=(1,2,3)+t(1,-1,2) con el plano x+y+z=6.
5. Comprueba si el punto P(3,1,5) pertenece a la recta (x-1)/2 = y/1 = (z-3)/2.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Rectas y planos - Ejemplos y ejercicios.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.