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Posiciones relativas de rectas y planos
Posiciones relativas de dos planos
Dados dos planos π1: A1x+B1y+C1z+D1=0 y π2: A2x+B2y+C2z+D2=0:
- Secantes: n1 y n2 no son proporcionales (rg del sistema = 2)
- Paralelos: n1 = k*n2 pero D1 ≠ k*D2
- Coincidentes: n1 = k*n2 y D1 = k*D2
Posiciones relativas de tres planos
Se estudia con el sistema formado por las tres ecuaciones de los planos. Sea A la matriz de coeficientes y A* la ampliada:
- rg(A) = rg(A*) = 1: los tres planos coinciden
- rg(A) = rg(A*) = 2: se cortan en una recta
- rg(A) = rg(A*) = 3: se cortan en un punto
- rg(A) = 1, rg(A*) = 2: paralelos (al menos dos distintos)
- rg(A) = 2, rg(A*) = 3: no hay punto común (se cortan dos a dos formando un prisma, o dos son paralelos y el tercero los corta)
Posiciones relativas de dos rectas
Dadas r: P0+t*d1 y s: Q0+t*d2, sea w = Q0 - P0:
- Secantes: [d1, d2, w] = 0 y d1 x d2 ≠ 0
- Paralelas: d1 = k*d2 y w no es múltiplo de d1
- Coincidentes: d1 = k*d2 y w es múltiplo de d1
- Que se cruzan: [d1, d2, w] ≠ 0
Posiciones relativas de recta y plano
- Secantes: d · n ≠ 0 (se cortan en un punto)
- Paralelos: d · n = 0 y P0 no pertenece al plano
- La recta está contenida en el plano: d · n = 0 y P0 pertenece al plano
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): Dadas las rectas r: (x-1)/2 = (y+1)/1 = z/(-1) y s: (x-3)/4 = (y-1)/2 = (z+2)/a:
a) Determina la posición relativa de r y s según los valores de a.
b) Para a = -2, halla la ecuación del plano que contiene a r y a s.
Problema 2 (EVAU): Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r: x = 1+t, y = 2-t, z = 3+2t y pasa por el punto A(0,1,0).
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Posiciones relativas de rectas y planos.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.