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Sistemas de ecuaciones lineales: Gauss y Cramer
1. Planteamiento matricial de un sistema
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir en forma matricial:
AX = B
donde A es la matriz de coeficientes (m×n), X es el vector de incógnitas (n×1) y B es el vector de términos independientes (m×1). La matriz ampliada es (A|B).
2. Clasificación de sistemas (Rouché-Frobenius)
Según el teorema de Rouché-Frobenius:
| Condición | Tipo de sistema | Soluciones |
|---|
| rg(A) ≠ rg(A|B) | Incompatible (SI) | Ninguna |
| rg(A) = rg(A|B) = n | Compatible Determinado (SCD) | Única |
| rg(A) = rg(A|B) = r < n | Compatible Indeterminado (SCI) | Infinitas (n − r parámetros) |
3. Método de Gauss (eliminación gaussiana)
El método de Gauss transforma la matriz ampliada (A|B) en una matriz escalonada mediante operaciones elementales por filas:
• Intercambiar dos filas (Fᵢ ↔ Fⱼ).
• Multiplicar una fila por un escalar no nulo (Fᵢ → λFᵢ).
• Sumar a una fila un múltiplo de otra (Fᵢ → Fᵢ + λFⱼ).
Estas operaciones no alteran las soluciones del sistema. Una vez escalonada la matriz, se resuelve por sustitución regresiva (de abajo hacia arriba).
📘 Ejemplo resueltoResuelve por Gauss: x + y + z = 6; 2x + 3y + z = 14; x − y + 2z = 2.Matriz ampliada:
⎛1 1 1 │ 6⎞
⎜2 3 1 │14⎟
⎝1 −1 2 │ 2⎠
F₂ → F₂ − 2F₁; F₃ → F₃ − F₁:
⎛1 1 1 │ 6⎞
⎜0 1 −1 │ 2⎟
⎝0 −2 1 │−4⎠
F₃ → F₃ + 2F₂:
⎛1 1 1 │ 6⎞
⎜0 1 −1 │ 2⎟
⎝0 0 −1 │ 0⎠
Sustitución regresiva:
−z = 0 →
z = 0y − z = 2 → y = 2 →
y = 2x + y + z = 6 → x = 6 − 2 − 0 =
4Solución:
(x, y, z) = (4, 2, 0) 4. Regla de Cramer
La regla de Cramer solo se aplica a sistemas cuadrados (n ecuaciones con n incógnitas) con determinante no nulo (|A| ≠ 0, es decir, SCD).
xⱼ = |Aⱼ| / |A|
donde Aⱼ es la matriz que se obtiene al sustituir la columna j de A por el vector B.
📘 Ejemplo resueltoResuelve por Cramer: 2x − y = 5; 3x + 2y = 4.
A = ⎛2 −1⎞ B = ⎛5⎞
⎝3 2⎠ ⎝4⎠
|A| = 2·2 − (−1)·3 = 4 + 3 = 7
|A₁| = |5 −1; 4 2| = 5·2 − (−1)·4 = 10 + 4 = 14 → x = 14/7 = 2
|A₂| = |2 5; 3 4| = 2·4 − 5·3 = 8 − 15 = −7 → y = −7/7 = −1
Solución: (x, y) = (2, −1)
5. Discusión de sistemas con parámetros
Cuando un sistema depende de un parámetro (por ejemplo, m o k), se debe:
1. Calcular |A| en función del parámetro.
2. Determinar para qué valores del parámetro |A| = 0 (valores singulares).
3. Para los valores no singulares: SCD (se resuelve por Cramer o Gauss).
4. Para los valores singulares: se estudia el rango de A y de (A|B) para clasificar el sistema en SCI o SI.
📘 Ejemplo resueltoDiscute y resuelve según m:
x + y + z = 1; x + my + z = 0; mx + y + z = 0.
|A| = |1 1 1; 1 m 1; m 1 1|
= 1(m − 1) − 1(1 − m) + 1(1 − m²)
= m − 1 − 1 + m + 1 − m² = −m² + 2m − 1 = −(m − 1)²
Si m ≠ 1: |A| = −(m−1)² ≠ 0 → SCD. Se resuelve por Cramer.
Si m = 1: |A| = 0. El sistema queda: x + y + z = 1; x + y + z = 0; x + y + z = 0.
Las ecuaciones 1ª y 2ª son contradictorias (1 ≠ 0) → rg(A) = 1, rg(A|B) = 2 → Sistema Incompatible.
6. Sistemas homogéneos
Un sistema es homogéneo si B = O (todos los términos independientes son 0): AX = O. Siempre tiene la solución trivial X = O. Tiene soluciones no triviales si y solo si |A| = 0 (equivalentemente, rg(A) < n).
7. Aplicación: ecuaciones matriciales
Las ecuaciones matriciales se resuelven usando las propiedades de la inversa:
• AX = B → X = A⁻¹B (si A es inversible).
• XA = B → X = BA⁻¹.
• AXB = C → X = A⁻¹CB⁻¹.
⚠️ ImportanteAl despejar en ecuaciones matriciales, hay que respetar el orden de los factores (el producto no es conmutativo). Por ejemplo, de AX = B se obtiene X = A⁻¹B, no X = BA⁻¹.
✏️ Ejercicios propuestos1. Resuelve por Gauss: 2x + y − z = 3; x − y + 2z = 1; 3x + 2y − z = 4.
2. Resuelve por Cramer: x + 2y + 3z = 6; 2x + 5y + 3z = 8; x + 8z = 10.
3. Discute según k: x + y + kz = 1; x + ky + z = 1; kx + y + z = 1.
4. Resuelve el sistema homogéneo: x + y − z = 0; 2x − y + z = 0; x − 2y + 2z = 0.
5. (EVAU) Discute y resuelve según a:
x + y + z = 3; x + ay + z = a + 1; 2x + y + (a+1)z = 4.
6. Resuelve la ecuación matricial AX + B = 2X siendo A = ⎛3 1⎞ y B = ⎛1⎞.
⎝0 2⎠ ⎝4⎠
7. Un sistema 3×3 tiene |A| = 5. ¿Puede ser compatible indeterminado? Justifica.
8. Halla el rango de la matriz ampliada y clasifica: x + 2y = 3; 2x + 4y = 6; 3x + 6y = 9.
9. (EVAU) Si A = ⎛1 a⎞ y A² = A, halla los posibles valores de a.
⎝0 0⎠
10. Interpreta geométricamente un sistema 3×3 SCD, SCI (con 1 parámetro) y SI (dos ecuaciones paralelas).
🤔 ¿Sabías que...?Carl Friedrich Gauss (1777-1855) utilizó su método de eliminación para calcular la órbita del asteroide Ceres en 1801, cuando solo se disponía de unas pocas observaciones antes de que desapareciera detrás del Sol. Gauss predijo dónde reaparecería, y acertó con una precisión asombrosa, lo que le otorgó fama instantánea. Hoy el método de Gauss se usa millones de veces por segundo en simulaciones físicas, análisis de datos y algoritmos de inteligencia artificial.
📋 Resumen de la lección- AX = B es la forma matricial de un sistema lineal; (A|B) es la matriz ampliada.
- Rouché-Frobenius: compatible ⟺ rg(A) = rg(A|B); determinado si además rg = n.
- Gauss: se escalona (A|B) con operaciones de fila y se resuelve por sustitución regresiva.
- Cramer: xⱼ = |Aⱼ|/|A|, solo válido si |A| ≠ 0 (sistema cuadrado y determinado).
- Para discutir con parámetros: se analiza cuándo |A| = 0 y se estudian los rangos.
- Un sistema homogéneo AX = O siempre tiene la solución trivial; no triviales ⟺ |A| = 0.