Rango de una matriz y matriz inversa

Rango de una matriz y matriz inversa

Introducción

El rango y la matriz inversa son dos herramientas centrales del álgebra lineal de 2.º de Bachillerato. El rango nos dice cuánta información «independiente» contiene una matriz y es la clave del teorema de Rouché-Frobenius para clasificar sistemas. La matriz inversa permite «dividir» entre matrices y resolver ecuaciones matriciales como AX = B. En esta lección aprenderás a calcular ambos y a relacionarlos con el determinante.

1. Rango de una matriz

El rango de una matriz A, rg(A), es el número máximo de filas (o de columnas) linealmente independientes. El rango por filas y el rango por columnas siempre coinciden. Si A tiene m filas y n columnas, entonces rg(A) ≤ mín(m, n).

Una fila es linealmente dependiente de otras si se puede obtener como combinación lineal de ellas (por ejemplo, si es el doble de otra, o la suma de dos de ellas). Además:

• Una fila de ceros no aporta rango.
• Dos filas proporcionales cuentan como una sola.
• Las operaciones elementales por filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra) no cambian el rango.

Método de Gauss

Se escalona la matriz mediante operaciones elementales. El rango es el número de filas no nulas de la matriz escalonada.

Método de los menores (determinantes)

Un menor de orden k es el determinante de una submatriz cuadrada k×k formada eligiendo k filas y k columnas. El rango de A es el orden del mayor menor no nulo. En la práctica se parte de un menor no nulo de orden 2 y se «orla» (se amplía con una fila y una columna más) para ver si existe alguno de orden 3 distinto de cero.

Consecuencia importante: una matriz cuadrada n×n tiene rango n si y solo si |A| ≠ 0.

2. Matriz inversa

Dada una matriz cuadrada A de orden n, su inversa A⁻¹ es la matriz que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, donde I es la matriz identidad. Si existe, es única.

Condición de existencia: A tiene inversa (es regular o inversible) si y solo si |A| ≠ 0, es decir, si rg(A) = n. Si |A| = 0, la matriz es singular y no tiene inversa.

Cálculo por la matriz adjunta

A⁻¹ = (1/|A|) · (Adj A)ᵗ, donde Adj A es la matriz de los adjuntos (cofactores): el adjunto del elemento aᵢⱼ es Aᵢⱼ = (−1)^i+j·Mᵢⱼ, siendo Mᵢⱼ el menor que resulta de suprimir la fila i y la columna j.

Para una matriz 2×2 queda una regla muy cómoda: si A = ⎛a b⎞ ⎝c d⎠ con ad − bc ≠ 0, entonces A⁻¹ = (1/(ad − bc)) · ⎛d −b⎞ ⎝−c a⎠.

Cálculo por Gauss-Jordan

Se escribe la matriz (A | I) y se hacen operaciones elementales por filas hasta obtener (I | B). Entonces B = A⁻¹.

Propiedades

• (A⁻¹)⁻¹ = A.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ (se invierte el orden).
• (Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ.
• |A⁻¹| = 1/|A|.
• (k·A)⁻¹ = (1/k)·A⁻¹ si k ≠ 0.

Aplicación: ecuaciones matriciales

Si A es inversible: de AX = B se obtiene X = A⁻¹B (multiplicando por la izquierda) y de XA = B se obtiene X = BA⁻¹ (por la derecha). Como el producto de matrices no es conmutativo, hay que respetar siempre el lado por el que se multiplica.

Ejercicios