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Matrices y determinantes
1. Concepto de matriz
Una matriz de orden m×n es una tabla rectangular de m filas y n columnas formada por elementos de ℝ (o ℂ). Se escribe:
A = (aᵢⱼ) con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
donde aᵢⱼ es el elemento situado en la fila i y la columna j.
Tipos de matrices
| Tipo | Descripción |
|---|
| Fila | 1×n (una sola fila) |
| Columna | m×1 (una sola columna) |
| Cuadrada | m = n (mismo nº de filas y columnas) |
| Diagonal | Cuadrada con aᵢⱼ = 0 si i ≠ j |
| Identidad (Iₙ) | Diagonal con todos los elementos de la diagonal = 1 |
| Nula (O) | Todos los elementos son 0 |
| Triangular superior | aᵢⱼ = 0 si i > j |
| Triangular inferior | aᵢⱼ = 0 si i < j |
| Simétrica | A = Aᵀ (aᵢⱼ = aⱼᵢ) |
| Antisimétrica | A = −Aᵀ (aᵢⱼ = −aⱼᵢ, diagonal nula) |
2. Operaciones con matrices
Suma y diferencia
Solo se pueden sumar matrices del mismo orden. Se suman (o restan) elemento a elemento: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ.
Producto por un escalar
(λA)ᵢⱼ = λ · aᵢⱼ para todo λ ∈ ℝ.
Producto de matrices
El producto AB solo está definido si el nº de columnas de A coincide con el nº de filas de B. Si A es m×n y B es n×p, entonces AB es m×p y:
(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ · bₖⱼ (k = 1, ..., n)
⚠️ ImportanteEl producto de matrices NO es conmutativo en general: AB ≠ BA. También puede ocurrir que AB = O sin que A = O ni B = O (divisores de cero). Sin embargo, sí es asociativo: (AB)C = A(BC), y distributivo: A(B + C) = AB + AC.
📘 Ejemplo resueltoCalcula AB si A = ⎛1 2⎞ y B = ⎛5 6⎞
⎝3 4⎠ ⎝7 8⎠
AB = ⎛1·5+2·7 1·6+2·8⎞ = ⎛19 22⎞
⎝3·5+4·7 3·6+4·8⎠ ⎝43 50⎠
Traspuesta
La traspuesta Aᵀ se obtiene intercambiando filas y columnas: (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ. Propiedades: (Aᵀ)ᵀ = A, (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ, (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
3. Determinante de una matriz cuadrada
El determinante de una matriz cuadrada A, denotado det(A) o |A|, es un número real que codifica información esencial sobre A (invertibilidad, volumen, orientación).
Determinante 2×2
|A| = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁
Determinante 3×3: regla de Sarrus
Para una matriz 3×3:
|A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃
Desarrollo por adjuntos (cofactores)
Para cualquier orden n, se puede desarrollar por una fila i o una columna j:
|A| = Σⱼ aᵢⱼ · Aᵢⱼ donde Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ · Mᵢⱼ
Aᵢⱼ es el adjunto (o cofactor) y Mᵢⱼ es el menor complementario (determinante de la submatriz que se obtiene eliminando la fila i y la columna j).
📘 Ejemplo resueltoCalcula el determinante de A = ⎛1 2 3⎞
⎜4 5 6⎟
⎝7 8 0⎠
Desarrollo por la tercera fila (tiene un cero, simplifica cálculos):
|A| = 7·A₃₁ + 8·A₃₂ + 0·A₃₃
A₃₁ = (−1)³⁺¹ · |2 3; 5 6| = +(2·6 − 3·5) = 12 − 15 = −3
A₃₂ = (−1)³⁺² · |1 3; 4 6| = −(1·6 − 3·4) = −(6 − 12) = 6
|A| = 7·(−3) + 8·6 = −21 + 48 = 27
Propiedades de los determinantes
• |Aᵀ| = |A|.
• Si se intercambian dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo.
• Si una fila es combinación lineal de otras, |A| = 0.
• Si se multiplica una fila por λ, el determinante se multiplica por λ.
• |AB| = |A| · |B|.
• |λA| = λⁿ · |A| (para A de orden n).
• Si se suma a una fila un múltiplo de otra, el determinante no cambia.
4. Matriz inversa
Una matriz cuadrada A es inversible (o regular) si existe A⁻¹ tal que AA⁻¹ = A⁻¹A = I. Esto ocurre si y solo si |A| ≠ 0.
Cálculo de la inversa
A⁻¹ = (1/|A|) · Adj(A)ᵀ
donde Adj(A) es la matriz de adjuntos (cada elemento aᵢⱼ se sustituye por su cofactor Aᵢⱼ).
📘 Ejemplo resueltoCalcula la inversa de A = ⎛2 1⎞
⎝5 3⎠
|A| = 2·3 − 1·5 = 6 − 5 = 1 ≠ 0 → es inversible.
Adjuntos: A₁₁ = 3, A₁₂ = −5, A₂₁ = −1, A₂₂ = 2
Adj(A)ᵀ = ⎛ 3 −1⎞
⎝−5 2⎠
A⁻¹ = (1/1) · ⎛ 3 −1⎞ = ⎛ 3 −1⎞
⎝−5 2⎠ ⎝−5 2⎠
Comprobación: A·A⁻¹ = ⎛2·3+1·(−5) 2·(−1)+1·2⎞ = ⎛1 0⎞ = I ✓
⎝5·3+3·(−5) 5·(−1)+3·2⎠ ⎝0 1⎠
5. Rango de una matriz
El rango de una matriz A, denotado rg(A), es el orden del mayor menor no nulo de A. Equivalentemente, es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes.
Para calcularlo se puede:
1. Método de los menores: Se busca el mayor determinante no nulo orlándolo.
2. Reducción por Gauss: Se transforma A en forma escalonada; el rango es el número de filas no nulas.
📐 TeoremaTeorema de Rouché-Frobenius: Un sistema AX = B es compatible si y solo si rg(A) = rg(A|B), donde (A|B) es la matriz ampliada. Además:
• Si rg(A) = rg(A|B) = n (nº de incógnitas) → compatible determinado (solución única).
• Si rg(A) = rg(A|B) < n → compatible indeterminado (infinitas soluciones).
• Si rg(A) ≠ rg(A|B) → incompatible (sin solución).
✏️ Ejercicios propuestos1. Dadas A = ⎛1 0 −1⎞ y B = ⎛2 1⎞, calcula AB y BA (si son posibles).
⎝2 3 1⎠ ⎜0 3⎟
⎝1 4⎠
2. Demuestra que si A es simétrica y B es simétrica del mismo orden, entonces A + B también es simétrica.
3. Calcula el determinante de la matriz 3×3: ⎛2 −1 3⎞
⎜1 0 2⎟
⎝4 −2 1⎠
4. Halla la inversa de A = ⎛1 2 1⎞ si existe.
⎜0 1 1⎟
⎝1 0 1⎠
5. Calcula el rango de la matriz: ⎛1 2 3⎞
⎜2 4 6⎟
⎝1 3 2⎠
6. (EVAU) Halla los valores de k para los que la matriz ⎛1 k 0⎞ no tiene inversa.
⎜0 1 k⎟
⎝k 0 1⎠
7. Resuelve la ecuación matricial: AX = B donde A = ⎛2 1⎞ y B = ⎛5⎞.
⎝3 2⎠ ⎝8⎠
8. Demuestra que |A²| = |A|².
9. Si A es una matriz 3×3 con |A| = 4, calcula |2A|, |A⁻¹| y |Aᵀ|.
10. (EVAU) Discute el siguiente sistema según los valores de m usando Rouché-Frobenius:
x + y + z = 1; x + my + z = m; x + y + mz = m².
🤔 ¿Sabías que...?Arthur Cayley (1821-1895) y James Joseph Sylvester (1814-1897) formalizaron la teoría de matrices en el siglo XIX. Cayley demostró el célebre teorema de Cayley-Hamilton: toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Hoy las matrices son omnipresentes en informática (gráficos 3D, Google PageRank, aprendizaje automático) y en física cuántica, donde los observables se representan como matrices hermitianas.
📋 Resumen de la lección- Una matriz m×n tiene m filas y n columnas; el producto AB requiere que las columnas de A coincidan con las filas de B.
- El producto de matrices NO es conmutativo pero sí asociativo y distributivo.
- El determinante de una matriz cuadrada se calcula por Sarrus (3×3) o por adjuntos (general).
- A es inversible ⟺ |A| ≠ 0. A⁻¹ = (1/|A|) · Adj(A)ᵀ.
- El rango es el orden del mayor menor no nulo; el teorema de Rouché-Frobenius clasifica sistemas.