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Problemas de optimización
Metodología para problemas de optimización
- Identificar la magnitud a optimizar (área, volumen, coste, distancia...).
- Expresar dicha magnitud como función de una sola variable.
- Determinar el dominio de la función (restricciones físicas).
- Derivar e igualar a cero para encontrar puntos críticos.
- Verificar que se trata de un máximo o un mínimo (segunda derivada o estudio de la primera).
- Calcular el valor óptimo.
Ejemplo resuelto
Problema clásico: Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un semicírculo de radio R.
Sea x la mitad de la base y y la altura. El vértice superior está en el semicírculo: x2 + y2 = R2, luego y = (R2 - x2)1/2.
Área = 2x*y = 2x*(R2 - x2)1/2, con x en (0, R).
Derivamos (más fácil derivar A2 = 4x2*(R2-x2)):
(A2)' = 8x*(R2-x2) + 4x2*(-2x) = 8xR2 - 8x3 - 8x3 = 8x(R2 - 2x2)
Igualando a 0: x = R/21/2 = R*21/2/2.
y = (R2 - R2/2)1/2 = R/21/2 = R*21/2/2.
Dimensiones: base = 2x = R*21/2, altura = R*21/2/2. Área máxima = R2.
Ejemplo resuelto
Problema clásico EVAU: Se quiere construir una caja sin tapa con base cuadrada y volumen 32 cm3. Halla las dimensiones que minimizan la superficie.
Sea x el lado de la base y h la altura. V = x2*h = 32 => h = 32/x2.
Superficie = x2 + 4*x*h = x2 + 128/x, con x > 0.
S'(x) = 2x - 128/x2 = (2x3 - 128)/x2
S'(x) = 0 => x3 = 64 => x = 4 cm.
S''(x) = 2 + 256/x3. S''(4) = 2 + 4 = 6 > 0 => mínimo.
h = 32/16 = 2 cm. Dimensiones: 4x4x2 cm. Superficie mínima = 48 cm2.
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): De todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 10 cm, halla aquel cuya área sea máxima.
Problema 2 (EVAU): Un cable de 100 m se corta en dos trozos. Con uno se forma un cuadrado y con el otro un círculo. Determina la longitud de cada trozo para que la suma de las áreas sea mínima.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Problemas de optimización.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.