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Aplicaciones de la derivada: monotonía, extremos y curvatura
Monotonía y extremos relativos
Sea f una función derivable en un intervalo:
- Si f'(x) > 0 en (a,b), entonces f es estrictamente creciente en (a,b).
- Si f'(x) < 0 en (a,b), entonces f es estrictamente decreciente en (a,b).
Puntos críticos
Los puntos críticos son los valores de x donde f'(x) = 0 o f'(x) no existe.
Criterio de la primera derivada
- Si f' cambia de positiva a negativa en x = c: máximo relativo.
- Si f' cambia de negativa a positiva en x = c: mínimo relativo.
- Si f' no cambia de signo: no hay extremo relativo (puede ser un punto de inflexión con tangente horizontal, como x = 0 en f(x) = x³).
Criterio de la segunda derivada
Si f'(c) = 0:
- f''(c) < 0 => máximo relativo en x = c.
- f''(c) > 0 => mínimo relativo en x = c.
- f''(c) = 0 => no se puede decidir (estudiar el cambio de signo de f' o las derivadas de orden superior).
Curvatura y puntos de inflexión
- Si f''(x) > 0: la función es convexa (cóncava hacia arriba).
- Si f''(x) < 0: la función es cóncava (cóncava hacia abajo).
- Punto de inflexión: punto donde f'' cambia de signo (f''(c) = 0 y f'' cambia de signo en c).
Ejemplo resuelto
Estudiar f(x) = x3 - 3x:
f'(x) = 3x2 - 3 = 3(x-1)(x+1). Puntos críticos: x = -1, x = 1.
f' > 0 en (-∞,-1) y (1,+∞): creciente. f' < 0 en (-1,1): decreciente.
Máximo relativo en x = -1: f(-1) = 2. Mínimo relativo en x = 1: f(1) = -2.
f''(x) = 6x. f''(-1) = -6 < 0 (confirma máximo). f''(1) = 6 > 0 (confirma mínimo).
f''(x) = 0 en x = 0. Cambia de signo: punto de inflexión en (0,0).
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Monotonía, extremos y curvatura.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.