Probabilidad - Ejemplos y ejercicios

Ejemplo resuelto
En una clase, el 60% estudia inglés (I), el 40% estudia francés (F) y el 20% estudia ambos. Calcula P(I ∪ F), P(I|F), y si son independientes.

Solución: P(I ∪ F) = P(I)+P(F)-P(I ∩ F) = 0,6+0,4-0,2 = 0,8. P(I|F) = P(I ∩ F)/P(F) = 0,2/0,4 = 0,5. Independencia: P(I|F)=0,5 ≠ P(I)=0,6, luego NO son independientes.

Ejemplo resuelto
La probabilidad de que una máquina produzca un defecto es 0,05. Si produce 20 piezas, calcula la probabilidad de que exactamente 2 sean defectuosas. (Binomial)

Solución: X ~ B(20, 0,05). P(X=2) = C(20,2) x 0,05² x 0,95¹⁸ = 190 x 0,0025 x 0,3972 = 0,1887 = 18,87%.

Ejemplo resuelto
Distribución normal: X ~ N(170, 10). Calcula P(X > 185).

Solución: Z = (185-170)/10 = 1,5. P(Z > 1,5) = 1 - P(Z < 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668 = 6,68%.

Ejercicios
1. Teorema de Bayes: en una fábrica, la máquina A produce el 60% (3% defecto) y la B el 40% (5% defecto). Si una pieza es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que venga de cada máquina?
2. X ~ B(10, 0,3). Calcula P(X=3), P(X>=2), E(X) y sigma.
3. X ~ N(100, 15). Calcula P(X < 85), P(90 < X < 110).
4. Halla k tal que P(Z < k) = 0,95 en la normal estándar.
5. Aproximación binomial a normal: X ~ B(100, 0,4). Calcula P(X > 45) usando N(40, sqrt(24)).