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Distribuciones de probabilidad: binomial y normal
Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria discreta X toma valores x1, x2, ... con probabilidades p1, p2, ...
Esperanza (media): E(X) = μ = Σ xi * pi
Varianza: Var(X) = σ2 = E(X2) - [E(X)]2
Desviación típica: σ = Var(X)1/2
Distribución binomial B(n,p)
Se aplica cuando se repite n veces un experimento con dos resultados (éxito con probabilidad p, fracaso con q = 1-p).
P(X=k) = C(n,k) * pk * qn-k
Media: μ = n*p. Varianza: σ2 = n*p*q.
Ejemplo resuelto
Se lanza un dado 10 veces. X = numero de seises. X ~ B(10, 1/6).
P(X=2) = C(10,2) * (1/6)2 * (5/6)8 = 45 * 1/36 * 390625/1679616 = 0.2907
μ = 10*(1/6) = 5/3 ≈ 1.667. σ2 = 10*(1/6)*(5/6) = 25/18 ≈ 1.389.
Distribución normal N(μ, σ)
Es la distribución continua mas importante. Su función de densidad es la campana de Gauss.
Normal estándar N(0,1)
Se tipifica con: Z = (X - μ) / σ
Se usa la tabla de la normal estándar para calcular probabilidades.
Recuerda
Propiedades de la tabla:
- P(Z ≤ -z) = 1 - P(Z ≤ z)
- P(Z ≥ z) = 1 - P(Z ≤ z)
- P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) - P(Z ≤ a)
Ejemplo resuelto
Sea X ~ N(170, 10) la altura en cm de una población. Calcular P(150 ≤ X ≤ 180):
Z1 = (150-170)/10 = -2. Z2 = (180-170)/10 = 1.
P(150 ≤ X ≤ 180) = P(-2 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) - P(Z ≤ -2)
= P(Z ≤ 1) - (1 - P(Z ≤ 2)) = 0.8413 - (1 - 0.9772) = 0.8413 - 0.0228 = 0.8185
Es decir, el 81.85% de la población mide entre 150 y 180 cm.
Aproximación de la binomial por la normal
Si n es grande (n*p ≥ 5 y n*q ≥ 5), entonces B(n,p) se aproxima por N(n*p, (n*p*q)1/2).
Se aplica la corrección de continuidad: P(X ≤ k) ≈ P(Z ≤ (k+0.5-μ)/σ).
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): El 30% de los alumnos aprueba cierta asignatura. En un grupo de 20 alumnos:
a) Probabilidad de que aprueben exactamente 8.
b) Probabilidad de que aprueben al menos 3.
c) Numero esperado de aprobados.
Problema 2 (EVAU): La duración de cierto componente sigue una distribución N(1000, 50) horas.
a) Probabilidad de que un componente dure entre 900 y 1100 horas.
b) Si se compran 500 componentes, cuantos se espera que duren mas de 1075 horas?
Problema 3 (EVAU): Un examen tipo test tiene 50 preguntas con 4 opciones cada una. Un alumno contesta al azar.
a) Cual es la probabilidad de acertar exactamente 15?
b) Aproxima la binomial por una normal y calcula P(X ≥ 20).
📋 Resumen de la lección- variable aleatoria discreta
- Esperanza (media):
- Varianza:
- Desviación típica:
- Media:
- Varianza:
- Ejemplo resuelto
- Z = (X - μ) / σ
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en Distribuciones binomial y normal lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Distribuciones binomial y normal.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.