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Integrales indefinidas: primitivas y métodos de integración
Concepto de primitiva
Una primitiva de f(x) es una función F(x) tal que F'(x) = f(x). La integral indefinida es el conjunto de todas las primitivas:
∫ f(x) dx = F(x) + C
donde C es la constante de integración.
Tabla de integrales inmediatas
| f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|
| xn (n ≠ -1) | xn+1/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| ax | ax/ln(a) + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| 1/cos2(x) | tan(x) + C |
| 1/(1+x2) | arctan(x) + C |
| 1/(1-x2)1/2 | arcsin(x) + C |
Recuerda
La clave de la integración es reconocer cuándo una integral es "casi inmediata". Si ∫ f(g(x))*g'(x) dx, el resultado es F(g(x)) + C.
Método de sustitución (cambio de variable)
Se hace t = g(x), dt = g'(x) dx, se resuelve en términos de t y se deshace el cambio.
Ejemplo resuelto
∫ 2x * cos(x2) dx:
Cambio: t = x2, dt = 2x dx.
∫ cos(t) dt = sin(t) + C = sin(x2) + C
Integración por partes
∫ u dv = u*v - ∫ v du
Recuerda
Regla LÍATE para elegir u: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales. Se elige u la primera de la lista que aparezca.
Ejemplo resuelto
∫ x * ex dx:
u = x, dv = ex dx => du = dx, v = ex
∫ x*ex dx = x*ex - ∫ ex dx = x*ex - ex + C = ex*(x-1) + C
Integración de funciones racionales (fracciones simples)
Para ∫ P(x)/Q(x) dx donde grado(P) < grado(Q):
- Factorizar Q(x).
- Descomponer en fracciones simples.
- Integrar cada fracción simple.
Raíces simples: A/(x-a) => A*ln|x-a|
Raíces dobles: A/(x-a) + B/(x-a)2
Raíces complejas: (Ax+B)/(x2+px+q) => se completa el cuadrado y se usa arctan.
Ejemplo resuelto
∫ (3x+1)/(x2-1) dx = ∫ (3x+1)/((x-1)(x+1)) dx:
Descomposición: (3x+1)/((x-1)(x+1)) = A/(x-1) + B/(x+1)
x=1: 4/2 = A => A = 2. x=-1: -2/(-2) = B => B = 1.
∫ 2/(x-1) + 1/(x+1) dx = 2*ln|x-1| + ln|x+1| + C
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): Calcula las siguientes integrales:
a) ∫ x2 * ln(x) dx
b) ∫ (2x+3)/(x2+3x+2) dx
c) ∫ x * sin(2x) dx
d) ∫ ex * cos(x) dx