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Limites de funciones: calculo e indeterminaciones
Concepto de limite
El limite de f(x) cuando x tiende a a es L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x-a| < δ entonces |f(x)-L| < ε. Se escribe: limx→a f(x) = L.
Limites laterales
limx→a+ f(x) (limite por la derecha) y limx→a- f(x) (limite por la izquierda). El limite existe si y solo si ambos limites laterales existen y son iguales.
Limites en el infinito
- limx→+∞ (polinomio/polinomio): se divide numerador y denominador por la mayor potencia de x.
- Si grado(num) < grado(den): limite = 0
- Si grado(num) = grado(den): limite = coeficiente líder num / coeficiente líder den
- Si grado(num) > grado(den): limite = ±∞
Indeterminaciones
Las formas indeterminadas son: 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0*∞, 1∞, 00, ∞0.
Resolución de 0/0
Se factoriza, se simplifica o se aplica la regla de L'Hopital: lim f/g = lim f'/g' (si el segundo limite existe).
Resolución de ∞/∞
Se divide por la mayor potencia o se aplica L'Hopital.
Resolución de ∞ - ∞
Se opera algebraicamente (fracciones a común denominador, racionalizar, etc.).
Resolución de 1∞
lim f(x)g(x) = elim g(x)*(f(x)-1)
Ejemplo resuelto
Ejemplo 1: limx→2 (x2-4)/(x-2) = limx→2 (x-2)(x+2)/(x-2) = limx→2 (x+2) = 4
Ejemplo 2: limx→+∞ (3x2+1)/(2x2-x) = 3/2 (mismos grados)
Ejemplo 3 (1∞): limx→∞ (1+3/x)x = elim x*(3/x) = e3
Ejemplo 4 (L'Hopital): limx→0 sin(x)/x = limx→0 cos(x)/1 = 1
Asíntotas
- Asíntota vertical x = a: limx→a f(x) = ±∞
- Asíntota horizontal y = L: limx→±∞ f(x) = L
- Asíntota oblicua y = mx+n: m = limx→±∞ f(x)/x, n = limx→±∞ (f(x)-mx)
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): Calcula los siguientes limites:
a) limx→1 (x3-1)/(x2-1)
b) limx→+∞ ((2x+1)3)/(x3-x)
c) limx→+∞ (x2+x)1/2 - x
d) limx→0 (1+sin(x))1/x
📋 Resumen de la lección- limite
- Ejemplo resuelto
- Ejemplo 1:
- Ejemplo 2:
- Ejemplo 4 (L'Hopital):
- Asíntota vertical x = a:
- Asíntota horizontal y = L:
- Asíntota oblicua y = mx+n:
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en Limites: calculo e indeterminaciones lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Limites: calculo e indeterminaciones.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.