Distancias y ángulos - Ampliación y resumen

Introducción

En esta lección repasamos y ampliamos todo el bloque de problemas métricos en el espacio: cómo calcular distancias entre puntos, rectas y planos, y cómo medir ángulos entre ellos. Son preguntas muy habituales en la EVAU de Matemáticas II y casi todas se resuelven con tres herramientas: el producto escalar, el producto vectorial y el producto mixto.

Explicación

1. Distancias. Una recta r viene dada por un punto A y un vector director d; un plano π: Ax + By + Cz + D = 0 tiene vector normal n = (A, B, C).

• Entre dos puntos P y Q: d(P, Q) = |PQ| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
• De un punto a un plano: d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
• De un punto a una recta: d(P, r) = |AP × d| / |d|, donde A es un punto de r.
• Entre dos planos paralelos Ax + By + Cz + D = 0 y Ax + By + Cz + D' = 0: d = |D − D'| / √(A² + B² + C²). Si los planos se cortan, la distancia es 0.
• De una recta a un plano paralelo: se toma cualquier punto de la recta y se calcula su distancia al plano.
• Entre dos rectas que se cruzan: d(r, s) = |[AB, d_r, d_s]| / |d_r × d_s|, con A ∈ r y B ∈ s. Si el producto mixto es 0, las rectas son coplanarias (se cortan o son paralelas) y no se cruzan.

2. Ángulos. Los ángulos entre rectas y planos se toman siempre entre 0° y 90°; por eso aparece el valor absoluto.

• Entre dos rectas: cos α = |d_r · d_s| / (|d_r| |d_s|).
• Entre dos planos: cos α = |n₁ · n₂| / (|n₁| |n₂|).
• Entre una recta y un plano: sen α = |d · n| / (|d| |n|). Se usa el seno porque el ángulo que forman d y n es el complementario del que forman la recta y el plano.

3. Problemas de ampliación. Muchos ejercicios combinan lo anterior con la construcción de rectas y planos auxiliares:

• Proyección ortogonal de un punto P sobre un plano π: se traza la recta que pasa por P con dirección n y se corta con π. El punto de corte M es la proyección.
• Punto simétrico de P respecto de π: M es el punto medio entre P y su simétrico P', así que P' = 2M − P.
• Proyección de P sobre una recta r: se construye el plano perpendicular a r que pasa por P (su normal es d) y se corta con r.

Ejemplo

Ejemplo 1. Halla el punto simétrico de P(3, 1, 2) respecto del plano π: x − y + 2z − 3 = 0 y la distancia de P a π.

• Recta perpendicular a π por P: (x, y, z) = (3 + t, 1 − t, 2 + 2t).
• Corte con π: (3 + t) − (1 − t) + 2(2 + 2t) − 3 = 0 → 3 + 6t = 0 → t = −1/2.
• Proyección: M = (3 − 1/2, 1 + 1/2, 2 − 1) = (5/2, 3/2, 1).
• Simétrico: P' = 2M − P = (5 − 3, 3 − 1, 2 − 2) = (2, 2, 0).
• Distancia: d(P, π) = |3 − 1 + 4 − 3| / √(1 + 1 + 4) = 3/√6 = √6/2 ≈ 1,22.

Ejemplo 2. Estudia si se cruzan las rectas r: (1, 0, 0) + t(1, 1, 0) y s: (0, 0, 2) + λ(0, 1, 1) y, en ese caso, calcula su distancia.

• A = (1, 0, 0), B = (0, 0, 2), AB = (−1, 0, 2).
• d_r × d_s = (1, 1, 0) × (0, 1, 1) = (1, −1, 1), cuyo módulo es √3.
• Producto mixto: AB · (d_r × d_s) = −1 + 0 + 2 = 1 ≠ 0, así que las rectas se cruzan.
• d(r, s) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,58.

Ejercicios