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Combinatoria y probabilidad
Combinatoria
Factorial
n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1, con 0! = 1.
Variaciones sin repetición
V(n,k) = n! / (n-k)!
Permutaciones
P(n) = n!
Combinaciones
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
Probabilidad
Regla de Laplace
P(A) = casos favorables / casos posibles
Propiedades
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Ω) = 1, P(∅) = 0
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
- P(Ac) = 1 - P(A)
Probabilidad condicionada
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Sucesos independientes
A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) * P(B), equivalentemente P(A|B) = P(A).
Teorema de la probabilidad total
Si B1, B2, ..., Bn es una partición del espacio muestral:
P(A) = Σ P(A|Bi) * P(Bi)
Teorema de Bayes
P(Bk|A) = P(A|Bk) * P(Bk) / P(A)
Ejemplo resuelto
Tres urnas: U1 tiene 3 blancas y 2 negras, U2 tiene 4 blancas y 1 negra, U3 tiene 2 blancas y 3 negras. Se elige una urna al azar y se extrae una bola. Si es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que sea de U2?
P(U1)=P(U2)=P(U3) = 1/3
P(B|U1) = 3/5, P(B|U2) = 4/5, P(B|U3) = 2/5
P(B) = 1/3*(3/5 + 4/5 + 2/5) = 1/3 * 9/5 = 3/5
P(U2|B) = P(B|U2)*P(U2)/P(B) = (4/5)*(1/3)/(3/5) = 4/9
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Combinatoria y probabilidad.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.