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Distancias, ángulos, áreas y volúmenes
Distancias
Distancia entre dos puntos
d(A,B) = |AB| = ((b1-a1)2 + (b2-a2)2 + (b3-a3)2)1/2
Distancia de un punto P a un plano π: Ax+By+Cz+D=0
d(P, π) = |A*x0+B*y0+C*z0+D| / (A2+B2+C2)1/2
Distancia de un punto P a una recta r (P0, d)
d(P, r) = |PP0 x d| / |d|
Distancia entre dos rectas que se cruzan
d(r, s) = |[d1, d2, P0Q0]| / |d1 x d2|
Distancia entre rectas paralelas
Se toma un punto de una recta y se calcula su distancia a la otra.
Distancia entre planos paralelos
Se toma un punto de un plano y se calcula su distancia al otro.
Ejemplo resuelto
Calcular la distancia del punto P(1,2,3) al plano 2x - y + 2z - 1 = 0:
d = |2*1 + (-1)*2 + 2*3 - 1| / (4+1+4)1/2 = |2-2+6-1| / 3 = 5/3
Ángulos
Ángulo entre dos rectas
cos(α) = |d1 · d2| / (|d1| * |d2|)
Ángulo entre dos planos
cos(α) = |n1 · n2| / (|n1| * |n2|)
Ángulo entre recta y plano
sin(α) = |d · n| / (|d| * |n|)
Áreas y volúmenes
- Área del paralelogramo: S = |u x v|
- Área del triángulo: S = |u x v| / 2
- Volumen del paralelepípedo: V = |[u, v, w]| (valor absoluto del producto mixto)
- Volumen del tetraedro: V = |[u, v, w]| / 6
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): Dadas las rectas r: (x-1)/1 = y/2 = (z+1)/(-1) y s: (x-2)/2 = (y-1)/(-1) = z/1:
a) Demuestra que r y s se cruzan.
b) Calcula la distancia entre ambas rectas.
c) Halla la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Problema 2 (EVAU): Calcula el volumen del tetraedro de vértices A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) y D(1,1,1).
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Distancias, ángulos, áreas y volúmenes.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.