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Introducción
En esta lección practicamos, con ejemplos resueltos paso a paso, los cálculos de distancias y ángulos en el espacio que se piden en Matemáticas II. La clave está en elegir bien la fórmula y en identificar los vectores que intervienen: el vector director de cada recta y el vector normal de cada plano.
Explicación
Antes de calcular, conviene tener a mano los datos de cada elemento:
Una recta se describe con un punto A y un vector director d.
Un plano Ax + By + Cz + D = 0 tiene como vector normal n = (A, B, C).
Las fórmulas que más se usan son:
Distancia de un punto P(x₀, y₀, z₀) a un plano: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
Distancia de un punto P a una recta r: d = |AP × d| / |d|. El producto vectorial da el área del paralelogramo de lados AP y d; al dividir entre la base |d| se obtiene la altura, que es la distancia.
Ángulo entre dos rectas: cos α = |d₁ · d₂| / (|d₁| |d₂|).
Ángulo entre dos planos: cos α = |n₁ · n₂| / (|n₁| |n₂|).
Ángulo entre una recta y un plano: sen α = |d · n| / (|d| |n|).
Dos observaciones importantes:
El valor absoluto hace que el ángulo entre rectas o planos esté siempre entre 0° y 90°. El ángulo entre vectores puede llegar a 180°, pero el ángulo entre rectas no: si al calcular sin valor absoluto obtienes 120°, el ángulo entre las rectas es 60°.
Si una recta es perpendicular a un plano, su vector director es paralelo al normal; si una recta es paralela a un plano, d · n = 0.
Ejemplo
Ejemplo 1 (distancia de un punto a una recta). Calcula la distancia del punto P(2, 3, 1) a la recta r que pasa por A(1, 0, 2) con vector director d = (1, 2, 2).
AP = (2 − 1, 3 − 0, 1 − 2) = (1, 3, −1).
AP × d = (3·2 − (−1)·2, (−1)·1 − 1·2, 1·2 − 3·1) = (8, −3, −1).
Ejemplo resuelto Estudia la posición relativa y calcula la distancia entre las rectas r: (1,0,0)+t(1,0,1) y s: (0,1,0)+t(0,1,1).
Solución: dr=(1,0,1), ds=(0,1,1). n = dr x ds = (-1,-1,1). AB = B-A = (-1,1,0). d = |AB.n| / |n| = |1-1+0| / sqrt(3) = 0/sqrt(3) = 0. Como los vectores directores no son paralelos y la distancia es 0, las rectas no se cruzan: son secantes y se cortan en el punto (0,0,-1).
Ejemplo resuelto Calcula el ángulo entre el plano x+y+z=0 y la recta (x,y,z)=t(1,1,0).
Ejercicios 1. Distancia del punto (1,2,3) al plano x-2y+z+4=0. 2. Distancia entre los planos paralelos 2x+y-z=3 y 2x+y-z=7. 3. Distancia de un punto a una recta usando el producto vectorial. 4. Ángulo entre los planos x+y-z=0 y 2x-y+z=1. 5. Calcula la distancia entre dos rectas que se cruzan: r por (1,0,0) con d=(1,1,0) y s por (0,0,2) con d=(0,1,1).
✏️ Actividad de repaso
Repasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Distancias y ángulos - Ejemplos y ejercicios.
Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.
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