Temario gratis › Matemáticas II - 2.º Bachillerato

Determinantes: definición, propiedades y cálculo

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Introducción

El determinante es un número asociado a cada matriz cuadrada. Permite saber si una matriz tiene inversa, calcular esa inversa, hallar el rango de una matriz y discutir sistemas de ecuaciones lineales. Se escribe |A| o det(A).

Explicación

Orden 2: el determinante de la matriz de filas (a, b), (c, d) es a·d − b·c.

Orden 3 (regla de Sarrus): para la matriz de filas (a₁₁, a₁₂, a₁₃), (a₂₁, a₂₂, a₂₃), (a₃₁, a₃₂, a₃₃):

|A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃

Los tres primeros productos siguen la diagonal principal y sus paralelas; los tres que se restan, la diagonal secundaria y sus paralelas. Para órdenes mayores se usa el desarrollo por adjuntos.

Propiedades principales (lo que se dice de filas vale también para columnas):

Resultado fundamental: A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0.

Ejemplo

Ejemplo 1 (orden 2). Para la matriz de filas (2, 3), (1, 4): |A| = 2·4 − 3·1 = 5.

Ejemplo 2 (Sarrus). Calcula el determinante de la matriz de filas (1, 2, −1), (3, 0, 2), (−2, 1, 4).

Ejemplo 3 (propiedades). Si B es de orden 3 y |B| = 4, entonces |2B| = 2³·4 = 32 y |Bᵗ| = 4.

Ejercicios

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con |A| = 2. ¿Cuánto vale |3A|?

Calcula por la regla de Sarrus el determinante de la matriz de filas (2, −1, 3), (1, 4, 0), (0, 2, 1).

Material adicional

Límites y continuidad

1. Límite de una función en un punto

Sea f una función definida en un entorno de a (salvo quizá en a). Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

0 < |x − a| < δ  ⟹  |f(x) − L| < ε

Se escribe limx→a f(x) = L. El límite describe el comportamiento local de la función cerca del punto, no necesariamente en el punto mismo.

Límites laterales

• Límite por la izquierda: limx→a⁻ f(x) = L⁻ (x se acerca a a por valores menores).
• Límite por la derecha: limx→a⁺ f(x) = L⁺ (x se acerca a a por valores mayores).
• El límite existe ⟺ L⁻ = L⁺.

2. Propiedades de los límites

Si limx→a f(x) = L y limx→a g(x) = M:

• lim(f ± g) = L ± M  • lim(f · g) = L · M  • lim(f/g) = L/M (M ≠ 0)
• lim(fⁿ) = Lⁿ  • lim(ⁿ√f) = ⁿ√L (si L ≥ 0)  • lim(k) = k

3. Límites en el infinito y límites infinitos

Límite en +∞: limx→+∞ f(x) = L si f(x) se acerca a L cuando x crece sin límite. Análogamente para x → −∞.

Límite infinito: limx→a f(x) = +∞ si f(x) crece sin límite cuando x → a. Indica una asíntota vertical en x = a.

Asíntotas

Asíntota vertical: x = a si limx→a f(x) = ±∞.
Asíntota horizontal: y = L si limx→±∞ f(x) = L.
Asíntota oblicua: y = mx + n si limx→±∞ [f(x) − (mx + n)] = 0. Se calcula: m = lim f(x)/x; n = lim [f(x) − mx].

4. Resolución de indeterminaciones

Indeterminación 0/0

Se resuelve factorizando, racionalizando o aplicando la regla de L'Hôpital:

📐 Teorema
Regla de L'Hôpital: Si limx→a f(x)/g(x) es una indeterminación 0/0 o ∞/∞, y f y g son derivables con g'(x) ≠ 0 en un entorno reducido de a, entonces:

limx→a f(x)/g(x) = limx→a f'(x)/g'(x)   (si este último límite existe o es ±∞)
📘 Ejemplo resuelto
Calcula limx→0 sen x / x.

Sustitución directa: 0/0 → indeterminación.
L'Hôpital: limx→0 (sen x)' / (x)' = limx→0 cos x / 1 = cos 0 = 1

Este es uno de los límites más importantes del análisis. Se conoce como el primer límite notable.

Indeterminación ∞/∞ (funciones racionales)

Para limx→∞ P(x)/Q(x) donde P y Q son polinomios de grados p y q:

• Si p < q: el límite es 0 (hay asíntota horizontal y = 0).
• Si p = q: el límite es el cociente de los coeficientes principales.
• Si p > q: el límite es ±∞ (no hay asíntota horizontal; si p = q+1, hay oblicua).
También se puede aplicar L'Hôpital repetidamente.

📘 Ejemplo resuelto
Calcula limx→∞ (3x² − 2x + 1) / (5x² + x − 4).

Grado del numerador = grado del denominador = 2.
Cociente de coeficientes principales: 3/5.
lim = 3/5

Indeterminación ∞ − ∞

Se transforma en 0/0 o ∞/∞ mediante operaciones algebraicas (fracciones comunes, racionalización, etc.).

📘 Ejemplo resuelto
Calcula limx→∞ (√(x² + x) − x).

Tipo: ∞ − ∞. Racionalizamos multiplicando por el conjugado:
(√(x²+x) − x) · (√(x²+x) + x) / (√(x²+x) + x) = (x²+x − x²) / (√(x²+x) + x) = x / (√(x²+x) + x)

Dividimos numerador y denominador entre x (x > 0):
= 1 / (√(1 + 1/x) + 1) → 1 / (1 + 1) = 1/2

Indeterminación 1∞

Se utiliza la fórmula:

lim [f(x)]g(x) = elim g(x)·[f(x)−1]   (cuando f→1 y g→∞)

O equivalentemente, el número e se define como:

e = limx→∞ (1 + 1/x)x ≈ 2.71828...
📘 Ejemplo resuelto
Calcula limx→∞ (1 + 3/x)2x.

Tipo 1∞. Aplicamos la fórmula: f(x) = 1 + 3/x → f − 1 = 3/x; g(x) = 2x.
lim g(x)·(f(x) − 1) = lim 2x · 3/x = 6
Resultado: e⁶ = e⁶ ≈ 403.43

5. Continuidad

f es continua en x = a si: 1) f(a) existe, 2) limx→a f(x) existe, 3) limx→a f(x) = f(a). f es continua en [a, b] si es continua en todo (a, b), continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Tipos de discontinuidad

TipoCondición
EvitableEl límite existe pero ≠ f(a) o f(a) no está definida
Salto finitolim por la izquierda ≠ lim por la derecha (ambos finitos)
Salto infinitoAlgún límite lateral es ±∞
EsencialNo existe algún límite lateral ni siquiera infinito

Teoremas fundamentales sobre funciones continuas

📐 Teorema
Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0, entonces existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0.
📐 Teorema
Teorema del valor intermedio (Darboux): Si f es continua en [a, b], entonces f toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).
📐 Teorema
Teorema de Weierstrass: Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces f alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en [a, b].
📘 Ejemplo resuelto
Estudia la continuidad de f(x) = {(x² − 1)/(x − 1) si x ≠ 1; 3 si x = 1}.

Para x ≠ 1: f(x) = (x−1)(x+1)/(x−1) = x + 1, que es continua en ℝ \ {1}.
En x = 1:
limx→1 f(x) = limx→1 (x + 1) = 2
f(1) = 3
Como lim ≠ f(1), hay una discontinuidad evitable en x = 1.
✏️ Ejercicios propuestos
1. Calcula los siguientes límites:
  a) limx→1 (x³ − 1)/(x² − 1)
  b) limx→∞ (2x³ − x + 1)/(x³ + 5x²)
  c) limx→0 (eˣ − 1)/x
  d) limx→0⁺ x · ln x

2. Aplica L'Hôpital a: limx→0 (1 − cos x)/x².

3. Calcula limx→∞ (√(4x² + 3x) − 2x).

4. Calcula limx→∞ ((x + 2)/(x − 1))x.

5. Halla las asíntotas de f(x) = (x² + 1)/(x − 2).

6. Estudia la continuidad de f(x) = {x² + 1 si x < 0; eˣ si 0 ≤ x < 1; 3 − x si x ≥ 1}.

7. (EVAU) Halla a y b para que f(x) = {ax + b si x < 0; x² + 1 si 0 ≤ x ≤ 2; bx + a si x > 2} sea continua en ℝ.

8. Demuestra mediante Bolzano que la ecuación cos x = x tiene al menos una solución en (0, π/2).

9. Calcula limx→0 (tan x − sen x) / x³. [Pista: L'Hôpital o desarrollo]

10. (EVAU) Clasifica las discontinuidades de f(x) = (|x − 1|) / (x − 1).
🤔 ¿Sabías que...?
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) fue el primero en dar una definición rigurosa de límite y continuidad, sentando las bases del análisis matemático moderno. Antes de Cauchy, los matemáticos manipulaban infinitesimales de forma intuitiva, lo que conducía a paradojas y errores. El programa de rigorización iniciado por Cauchy y completado por Weierstrass, Dedekind y Cantor es uno de los mayores logros intelectuales del siglo XIX.
📋 Resumen de la lección
  • limx→a f(x) = L si f(x) se aproxima a L cuando x → a; existe ⟺ límites laterales coinciden.
  • Indeterminaciones: 0/0, ∞/∞ (L'Hôpital o álgebra), ∞−∞ (racionalizar), 1∞ (exponencial).
  • Para polinomios: lim P/Q con grado p vs q → 0, cociente de principales, o ±∞.
  • Asíntotas: vertical (lim = ±∞), horizontal (lim en ±∞ = L), oblicua (m = lim f/x, n = lim f−mx).
  • Continuidad: f(a) existe, lim existe, y ambos coinciden.
  • Bolzano: f continua, f(a)·f(b) < 0 ⟹ ∃c con f(c) = 0; Weierstrass: f alcanza máx. y mín. en [a,b].
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