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Introducción
La regla de Sarrus solo sirve para determinantes de orden 3. Para calcular determinantes de cualquier orden se usa el desarrollo por adjuntos (también llamado desarrollo de Laplace), que reduce un determinante de orden n a determinantes de orden n − 1.
Explicación
Sea A = (aᵢⱼ) una matriz cuadrada de orden n.
El menor complementario Mᵢⱼ del elemento aᵢⱼ es el determinante de la matriz que resulta al suprimir la fila i y la columna j.
El adjunto de aᵢⱼ es Aᵢⱼ = (−1)i+j · Mᵢⱼ. El signo sigue un patrón de tablero de ajedrez que empieza con + en la posición (1, 1):
+ − + − + − + − +
Teorema (desarrollo por adjuntos): el determinante de A es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) cualquiera por sus adjuntos. Por la fila i:
|A| = aᵢ₁·Aᵢ₁ + aᵢ₂·Aᵢ₂ + … + aᵢₙ·Aᵢₙ
El resultado es el mismo sea cual sea la fila o columna elegida. Por eso conviene elegir la que tenga más ceros: los términos con aᵢⱼ = 0 desaparecen.
Estrategia para órdenes altos: antes de desarrollar, se hacen ceros en una fila o columna usando la propiedad de que sumar a una fila (o columna) un múltiplo de otra no cambia el determinante. Cuando una línea tiene un solo elemento no nulo, el determinante se reduce a ese elemento por su adjunto.
Otra consecuencia útil: si se multiplican los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila distinta, la suma vale 0. Este hecho es la base del cálculo de la matriz inversa mediante la matriz adjunta.
Ejemplo
Ejemplo 1 (orden 3). Calcula el determinante de la matriz de filas (1, 2, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 0), desarrollando por la primera fila.
A₁₁ = +(1·0 − 4·6) = −24
A₁₂ = −(0·0 − 4·5) = 20
A₁₃ = +(0·6 − 1·5) = −5
|A| = 1·(−24) + 2·20 + 3·(−5) = −24 + 40 − 15 = 1
Ejemplo 2 (orden 4). Calcula el determinante de la matriz de filas (1, 0, 2, 0), (3, 1, 0, 1), (0, 2, 1, 0), (1, 0, 0, 1).
Restamos a la fila 2 la fila 4 (F₂ − F₄): la fila 2 pasa a ser (2, 1, 0, 0) y el determinante no cambia.
Ahora la columna 4 solo tiene un elemento no nulo: a₄₄ = 1, con signo (−1)4+4 = +.
|A| = 1 · el determinante de orden 3 de filas (1, 0, 2), (2, 1, 0), (0, 2, 1).
Desarrollando ese determinante por la primera fila: 1·(1·1 − 0·2) − 0 + 2·(2·2 − 1·0) = 1 + 8 = 9.
Resultado: |A| = 9.
Ejercicios
Dada la matriz de filas (2, 1, 3), (4, 0, −1), (1, 5, 2), ¿cuánto vale el adjunto A₂₃ del elemento de la fila 2 y columna 3?
Calcula, desarrollando por la columna que más convenga, el determinante de la matriz de filas (2, 0, 1), (1, 3, 0), (4, 0, 5).
Material adicional
Derivadas: reglas, aplicaciones y optimización
1. Recapitulación: concepto de derivada
La derivada de f en x = a es el límite del cociente incremental:
f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h
Geométricamente: pendiente de la recta tangente a la gráfica en (a, f(a)). Físicamente (si x es tiempo): velocidad instantánea.
2. Tabla completa de derivadas
f(x)
f'(x)
Observaciones
k (constante)
0
—
xⁿ
n·xⁿ⁻¹
n ∈ ℝ
eˣ
eˣ
Autoderivada
aˣ
aˣ · ln a
a > 0, a ≠ 1
ln x
1/x
x > 0
loga x
1/(x · ln a)
x > 0
sen x
cos x
—
cos x
−sen x
—
tan x
1 + tan²x = sec²x
—
arcsen x
1/√(1 − x²)
|x| < 1
arccos x
−1/√(1 − x²)
|x| < 1
arctan x
1/(1 + x²)
—
3. Reglas de derivación avanzadas
Regla de la cadena (composición)
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
En notación de Leibniz: dy/dx = (dy/du) · (du/dx), donde u = g(x).
📘 Ejemplo resuelto
Deriva f(x) = ln(sen x).
f'(x) = (1/sen x) · cos x = cos x / sen x = cot x
Derivación implícita
Cuando la relación entre x e y viene dada de forma implícita F(x, y) = 0, se deriva cada término respecto de x, teniendo en cuenta que y = y(x) es función de x:
📘 Ejemplo resuelto
Halla dy/dx si x² + y² = 25.
Derivamos ambos miembros respecto de x: 2x + 2y · (dy/dx) = 0 → dy/dx = −x/y → y' = −x/y
Derivación logarítmica
Para f(x) = g(x)h(x): se toma ln f = h(x) · ln g(x) y se deriva.
4. Teoremas fundamentales del cálculo diferencial
📐 Teorema
Teorema de Rolle: Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.
📐 Teorema
Teorema del valor medio (Lagrange): Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que:
f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a)
🔍 Demostración
Demostración del teorema de Rolle (esquema): Como f es continua en [a, b] (cerrado y acotado), por el teorema de Weierstrass alcanza máximo absoluto M y mínimo absoluto m. • Si M = m, entonces f es constante y f'(x) = 0 para todo x ∈ (a, b). ✓ • Si M ≠ m, como f(a) = f(b), al menos uno de los extremos (M o m) se alcanza en un punto interior c ∈ (a, b). Como c es un extremo interior y f es derivable, necesariamente f'(c) = 0. ✓
5. Estudio completo de una función
El estudio completo de f(x) incluye:
1. Dominio y simetrías (par/impar). 2. Cortes con los ejes (f(0) y f(x) = 0). 3. Asíntotas (verticales, horizontales, oblicuas). 4. Monotonía y extremos: f'(x) = 0 → puntos críticos; signo de f'. 5. Curvatura y puntos de inflexión: f''(x) = 0; signo de f''. 6. Tabla de valores y representación gráfica.
📘 Ejemplo resuelto
Estudio completo de f(x) = x³ − 3x.
1. Dominio: Dom = ℝ. Función impar: f(−x) = −x³ + 3x = −f(x) → simétrica respecto del origen.
3. Asíntotas: No tiene (es un polinomio). limx→±∞ f(x) = ±∞.
4. Monotonía: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1). f' = 0 en x = ±1. • x < −1: f' > 0 (creciente) • −1 < x < 1: f' < 0 (decreciente) • x > 1: f' > 0 (creciente) Máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 2). Mínimo relativo en (1, f(1)) = (1, −2).
5. Curvatura: f''(x) = 6x. f'' = 0 en x = 0. • x < 0: f'' < 0 (cóncava) • x > 0: f'' > 0 (convexa) Punto de inflexión en (0, 0).
6. Problemas de optimización
Los problemas de optimización de la EVAU siguen un esquema estándar:
1. Comprender el enunciado e identificar qué se maximiza o minimiza. 2. Variables y restricciones: definir las variables y la ecuación de ligadura. 3. Función objetivo: expresar la magnitud a optimizar en función de una sola variable. 4. Derivar, igualar a cero y resolver. 5. Comprobar que es máximo o mínimo (segunda derivada o estudio de la primera). 6. Responder a lo que pide el problema.
📘 Ejemplo resuelto
(EVAU) Se desea construir una caja sin tapa con base cuadrada y volumen 108 cm³. ¿Qué dimensiones minimizan el material empleado?
Sea x = lado de la base, h = altura. Restricción: x²h = 108 → h = 108/x².
Superficie (material): S = x² + 4xh = x² + 4x · 108/x² = x² + 432/x
S'(x) = 2x − 432/x² = 0 → 2x = 432/x² → x³ = 216 → x = 6 cm h = 108/36 = 3 cm
9. Halla los puntos de la parábola y = x² más cercanos al punto (0, 1).
10. (EVAU) Un cable debe ir de un punto A en el mar, a 3 km de la costa, a un punto B en la costa, a 5 km a lo largo de la playa. El cable submarino cuesta 3000 €/km y el terrestre 1000 €/km. ¿Dónde debe tocar tierra para minimizar el coste?
🤔 ¿Sabías que...?
El marqués de L'Hôpital (1661-1704) fue un noble francés que publicó la regla que lleva su nombre en el primer libro de texto de cálculo: Analyse des Infiniment Petits (1696). Sin embargo, la regla fue en realidad descubierta por Johann Bernoulli, quien se la enseñó a L'Hôpital a cambio de un pago regular. Este es uno de los primeros ejemplos conocidos de «trabajo por encargo» en matemáticas.
📋 Resumen de la lección
Las derivadas se calculan con las reglas (tabla + cadena + producto + cociente) y derivación implícita/logarítmica.
Teorema de Rolle: f continua en [a,b], derivable en (a,b), f(a) = f(b) ⟹ ∃c con f'(c) = 0.
Teorema del valor medio: f'(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a) para algún c ∈ (a,b).