Derivadas: reglas, aplicaciones y optimización
1. Recapitulación: concepto de derivada
La derivada de f en x = a es el límite del cociente incremental:
f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h
Geométricamente: pendiente de la recta tangente a la gráfica en (a, f(a)). Físicamente (si x es tiempo): velocidad instantánea.
2. Tabla completa de derivadas
| f(x) | f'(x) | Observaciones |
|---|
| k (constante) | 0 | — |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | n ∈ ℝ |
| eˣ | eˣ | Autoderivada |
| aˣ | aˣ · ln a | a > 0, a ≠ 1 |
| ln x | 1/x | x > 0 |
| loga x | 1/(x · ln a) | x > 0 |
| sen x | cos x | — |
| cos x | −sen x | — |
| tan x | 1 + tan²x = sec²x | — |
| arcsen x | 1/√(1 − x²) | |x| < 1 |
| arccos x | −1/√(1 − x²) | |x| < 1 |
| arctan x | 1/(1 + x²) | — |
3. Reglas de derivación avanzadas
Regla de la cadena (composición)
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
En notación de Leibniz: dy/dx = (dy/du) · (du/dx), donde u = g(x).
📘 Ejemplo resueltoDeriva f(x) = ln(sen x).
f'(x) = (1/sen x) · cos x = cos x / sen x = cot x
Derivación implícita
Cuando la relación entre x e y viene dada de forma implícita F(x, y) = 0, se deriva cada término respecto de x, teniendo en cuenta que y = y(x) es función de x:
📘 Ejemplo resueltoHalla dy/dx si x² + y² = 25.
Derivamos ambos miembros respecto de x:
2x + 2y · (dy/dx) = 0 → dy/dx = −x/y → y' = −x/y
Derivación logarítmica
Para f(x) = g(x)h(x): se toma ln f = h(x) · ln g(x) y se deriva.
4. Teoremas fundamentales del cálculo diferencial
📐 TeoremaTeorema de Rolle: Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.
📐 TeoremaTeorema del valor medio (Lagrange): Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que:
f'(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a)
🔍 DemostraciónDemostración del teorema de Rolle (esquema):
Como f es continua en [a, b] (cerrado y acotado), por el teorema de Weierstrass alcanza máximo absoluto M y mínimo absoluto m.
• Si M = m, entonces f es constante y f'(x) = 0 para todo x ∈ (a, b). ✓
• Si M ≠ m, como f(a) = f(b), al menos uno de los extremos (M o m) se alcanza en un punto interior c ∈ (a, b). Como c es un extremo interior y f es derivable, necesariamente f'(c) = 0. ✓
5. Estudio completo de una función
El estudio completo de f(x) incluye:
1. Dominio y simetrías (par/impar).
2. Cortes con los ejes (f(0) y f(x) = 0).
3. Asíntotas (verticales, horizontales, oblicuas).
4. Monotonía y extremos: f'(x) = 0 → puntos críticos; signo de f'.
5. Curvatura y puntos de inflexión: f''(x) = 0; signo de f''.
6. Tabla de valores y representación gráfica.
📘 Ejemplo resueltoEstudio completo de f(x) = x³ − 3x.
1. Dominio: Dom = ℝ. Función impar: f(−x) = −x³ + 3x = −f(x) → simétrica respecto del origen.
2. Cortes: f(0) = 0. f(x) = 0 → x(x² − 3) = 0 → x = 0, x = ±√3.
3. Asíntotas: No tiene (es un polinomio). limx→±∞ f(x) = ±∞.
4. Monotonía: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1). f' = 0 en x = ±1.
• x < −1: f' > 0 (creciente)
• −1 < x < 1: f' < 0 (decreciente)
• x > 1: f' > 0 (creciente)
Máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 2). Mínimo relativo en (1, f(1)) = (1, −2).
5. Curvatura: f''(x) = 6x. f'' = 0 en x = 0.
• x < 0: f'' < 0 (cóncava)
• x > 0: f'' > 0 (convexa)
Punto de inflexión en (0, 0).
6. Problemas de optimización
Los problemas de optimización de la EVAU siguen un esquema estándar:
1. Comprender el enunciado e identificar qué se maximiza o minimiza.
2. Variables y restricciones: definir las variables y la ecuación de ligadura.
3. Función objetivo: expresar la magnitud a optimizar en función de una sola variable.
4. Derivar, igualar a cero y resolver.
5. Comprobar que es máximo o mínimo (segunda derivada o estudio de la primera).
6. Responder a lo que pide el problema.
📘 Ejemplo resuelto(EVAU) Se desea construir una caja sin tapa con base cuadrada y volumen 108 cm³. ¿Qué dimensiones minimizan el material empleado?
Sea x = lado de la base, h = altura. Restricción: x²h = 108 → h = 108/x².
Superficie (material): S = x² + 4xh = x² + 4x · 108/x² = x² + 432/x
S'(x) = 2x − 432/x² = 0 → 2x = 432/x² → x³ = 216 → x = 6 cm
h = 108/36 = 3 cm
S''(x) = 2 + 864/x³. S''(6) = 2 + 864/216 = 2 + 4 = 6 > 0 → Mínimo. ✓
Base: 6 × 6 cm; Altura: 3 cm.
7. Teorema de L'Hôpital (ampliación)
L'Hôpital se puede aplicar repetidamente siempre que se obtenga otra indeterminación 0/0 o ∞/∞. También se aplica a límites en el infinito.
📘 Ejemplo resueltoCalcula limx→0 (eˣ − 1 − x) / x².
x = 0: (1 − 1 − 0)/0 = 0/0 → L'Hôpital.
lim (eˣ − 1) / (2x) = 0/0 → L'Hôpital de nuevo.
lim eˣ / 2 = 1/2.
Resultado: 1/2
✏️ Ejercicios propuestos1. Deriva: a) f(x) = arctan(eˣ); b) f(x) = x² · sen(1/x); c) f(x) = (ln x)ˣ.
2. Halla dy/dx si x³ + y³ − 3xy = 0.
3. Aplica el teorema de Rolle a f(x) = x² − 4x + 3 en [1, 3] y halla c.
4. Verifica el teorema del valor medio para f(x) = √x en [4, 9] y halla c.
5. Realiza el estudio completo y la representación gráfica de f(x) = x/(x² − 1).
6. (EVAU) Realiza el estudio completo de f(x) = (x² − 1) · e⁻ˣ.
7. (EVAU) De todos los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de radio R, halla las dimensiones del que tiene área máxima.
8. Calcula limx→0⁺ xˣ. [Pista: escribe x^x = ex ln x]
9. Halla los puntos de la parábola y = x² más cercanos al punto (0, 1).
10. (EVAU) Un cable debe ir de un punto A en el mar, a 3 km de la costa, a un punto B en la costa, a 5 km a lo largo de la playa. El cable submarino cuesta 3000 €/km y el terrestre 1000 €/km. ¿Dónde debe tocar tierra para minimizar el coste?
🤔 ¿Sabías que...?El marqués de L'Hôpital (1661-1704) fue un noble francés que publicó la regla que lleva su nombre en el primer libro de texto de cálculo: Analyse des Infiniment Petits (1696). Sin embargo, la regla fue en realidad descubierta por Johann Bernoulli, quien se la enseñó a L'Hôpital a cambio de un pago regular. Este es uno de los primeros ejemplos conocidos de «trabajo por encargo» en matemáticas.
📋 Resumen de la lección- Las derivadas se calculan con las reglas (tabla + cadena + producto + cociente) y derivación implícita/logarítmica.
- Teorema de Rolle: f continua en [a,b], derivable en (a,b), f(a) = f(b) ⟹ ∃c con f'(c) = 0.
- Teorema del valor medio: f'(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a) para algún c ∈ (a,b).
- Estudio completo: dominio, cortes, asíntotas, monotonía (f'), curvatura (f''), gráfica.
- Optimización: función objetivo + restricciones → una variable → derivar → comprobar.
- L'Hôpital se aplica a 0/0 o ∞/∞, derivando numerador y denominador por separado.