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Derivadas: definición, reglas y derivación de funciones
Definición de derivada
La derivada de f en x = a es:
f'(a) = limh→0 (f(a+h) - f(a)) / h
Geometricamente, f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)).
Ecuación de la recta tangente: y - f(a) = f'(a) * (x - a)
Recuerda
Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a. El reciproco es falso: f(x) = |x| es continua en x=0 pero no derivable.
Tabla de derivadas
| f(x) | f'(x) |
|---|
| k (constante) | 0 |
| xn | n*xn-1 |
| ex | ex |
| ax | ax * ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| loga(x) | 1/(x*ln(a)) |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos2(x) = 1+tan2(x) |
| arcsin(x) | 1/(1-x2)1/2 |
| arccos(x) | -1/(1-x2)1/2 |
| arctan(x) | 1/(1+x2) |
Reglas de derivación
- Linealidad: (kf + lg)' = k*f' + l*g'
- Producto: (f*g)' = f'*g + f*g'
- Cociente: (f/g)' = (f'*g - f*g') / g2
- Regla de la cadena: [f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)
Recuerda
La regla de la cadena es fundamental en EVAU. Siempre que se derive una función compuesta, hay que multiplicar por la derivada de la función interior.
Ejemplo resuelto
Derivar f(x) = ln(x2+1) * e3x:
f'(x) = [ln(x2+1)]' * e3x + ln(x2+1) * [e3x]'
= (2x/(x2+1)) * e3x + ln(x2+1) * 3e3x
= e3x * [2x/(x2+1) + 3*ln(x2+1)]
📋 Resumen de la lección- derivada
- Ecuación de la recta tangente:
- Recuerda
- Linealidad:
- Producto:
- Cociente:
- Regla de la cadena:
- Recuerda
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en Derivadas: definición, reglas y tabla lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Derivadas: definición, reglas y tabla.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.