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Derivación avanzada: derivación logarítmica e implícita
Derivación logarítmica
Para funciones del tipo f(x)g(x), se toman logaritmos:
y = f(x)g(x) => ln(y) = g(x) * ln(f(x))
Derivando implícitamente: y'/y = g'(x)*ln(f(x)) + g(x)*f'(x)/f(x)
y' = f(x)g(x) * [g'(x)*ln(f(x)) + g(x)*f'(x)/f(x)]
Ejemplo resuelto
Derivar y = xx:
ln(y) = x*ln(x)
y'/y = 1*ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1
y' = xx*(ln(x) + 1)
Derivación implícita
Cuando la función esta definida implícitamente por F(x,y) = 0, se deriva respecto a x tratando y como función de x:
Ejemplo resuelto
Hallar dy/dx si x2 + y2 = 25:
Derivando: 2x + 2y*y' = 0
y' = -x/y
Derivabilidad de funciones a trozos
Para que f sea derivable en x = a (punto de cambio de expresión), deben cumplirse:
- f debe ser continua en x = a.
- Las derivadas laterales deben existir e iguales: f'(a-) = f'(a+).
Ejemplo resuelto
Estudiar la derivabilidad de f(x) = {x2 si x ≤ 1, 2x-1 si x > 1}:
Continuidad: f(1) = 1, lim- = 1, lim+ = 1. Es continua.
Derivadas laterales: f'(1-) = 2*1 = 2, f'(1+) = 2. Son iguales.
f es derivable en x = 1 con f'(1) = 2.
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): Halla los valores de a y b para que la función:
f(x) = {ax2 + b si x ≤ 0, e2x si x > 0}
sea derivable en x = 0.
Problema 2 (EVAU): Dada f(x) = (x2-1)*ex:
a) Calcula f'(x) y f''(x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente en x = 0.
📋 Resumen de la lección- Ejemplo resuelto
- Ejemplo resuelto
- Ejemplo resuelto
- Ejercicio tipo EVAU
- Problema 1 (EVAU):
- Problema 2 (EVAU):
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en Derivación avanzada: logarítmica e implícita lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Derivación avanzada: logarítmica e implícita.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.
Ampliación: Derivación avanzada: logarítmica e implícita
En esta lección vamos a profundizar en el estudio de Derivación avanzada: logarítmica e implícita, un concepto fundamental en las matemáticas que nos permite comprender mejor el mundo que nos rodea y resolver problemas de la vida cotidiana.
El estudio de Derivación avanzada: logarítmica e implícita se basa en una serie de principios y reglas que debemos conocer y aplicar de forma sistemática. Comprender estos fundamentos es esencial para avanzar en el aprendizaje de las matemáticas y poder abordar problemas cada vez mas complejos.
A lo largo de la historia, los matemáticos han desarrollado métodos y formulas para trabajar con este concepto de forma eficiente. Desde las civilizaciones antiguas de Mesopotamia y Egipto hasta nuestros días, Derivación avanzada: logarítmica e implícita ha sido un pilar en el desarrollo del pensamiento matemático.
En el nivel de tu curso, es fundamental dominar los aspectos básicos de Derivación avanzada: logarítmica e implícita antes de avanzar a niveles superiores. Practica cada dia y veras como mejoras tu comprensión y velocidad.
📌 RecuerdaLos conceptos clave de esta lección sobre Derivación avanzada: logarítmica e implícita son fundamentales para tu progreso en la asignatura. Repasa esta sección tantas veces como necesites y no dudes en pedir ayuda a tu profesor si algo no te queda claro.
📘 EjemploPara comprender mejor Derivación avanzada: logarítmica e implícita, piensa en una situación de tu vida cotidiana donde puedas aplicar lo aprendido. Por ejemplo, cuando vas al supermercado, cuando lees un libro, cuando observas la naturaleza o cuando practicas deporte. Conectar la teoría con la practica hace que el aprendizaje sea mas significativo y duradero.
✏️ Ejercicios1. Define con tus propias palabras el concepto de Derivación avanzada: logarítmica e implícita.
2. Pon un ejemplo numérico de Derivación avanzada: logarítmica e implícita y resuelvelo paso a paso.
3. Resuelve los siguientes problemas:
a) Si un libro cuesta 12 euros y compras 3, ¿cuanto pagas en total?
b) Tienes 100 euros y gastas 37. ¿Cuanto te queda?
c) Reparte 48 caramelos entre 6 niños por igual. ¿Cuantos le tocan a cada uno?
4. Completa la serie: 5, 10, 15, ___, ___, ___, 35, ___
5. Escribe tres situaciones de la vida real donde necesites usar Derivación avanzada: logarítmica e implícita.
6. Calcula mentalmente: a) 25 + 75 = ___ b) 100 - 47 = ___ c) 8 x 7 = ___
7. Un tren sale a las 9:30 y tarda 2 horas y 15 minutos. ¿A que hora llega?
8. Ordena de menor a mayor: 345, 243, 534, 432, 325.
🎯 Actividad practicaPractica con problemas reales:
1. Busca en un folleto de supermercado los precios de 5 productos. Calcula cuanto costaría comprar 3 unidades de cada uno.
2. Mide tu habitación (largo y ancho) y calcula su perímetro y área.
3. Crea 5 problemas sobre Derivación avanzada: logarítmica e implícita y resuelvelos. Luego, intercámbialos con un compañero para que los resuelva.
4. Cronometra cuanto tardas en resolver 10 operaciones de calculo mental. Repite mañana e intenta mejorar tu tiempo.
📋 Resumen de la lección- En esta lección hemos profundizado en Derivación avanzada: logarítmica e implícita.
- Es importante comprender los conceptos básicos antes de avanzar a niveles mas complejos.
- La practica constante y la resolución de ejercicios son clave para afianzar lo aprendido.
- Las matemáticas están presentes en todos los ámbitos de la vida cotidiana.
- Revisa tus errores para aprender de ellos: equivocarse es parte del proceso de aprendizaje.