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Derivación avanzada: derivación logarítmica e implícita
Derivación logarítmica
Para funciones del tipo f(x)g(x), se toman logaritmos:
y = f(x)g(x) => ln(y) = g(x) * ln(f(x))
Derivando implícitamente: y'/y = g'(x)*ln(f(x)) + g(x)*f'(x)/f(x)
y' = f(x)g(x) * [g'(x)*ln(f(x)) + g(x)*f'(x)/f(x)]
Ejemplo resuelto
Derivar y = xx:
ln(y) = x*ln(x)
y'/y = 1*ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1
y' = xx*(ln(x) + 1)
Derivación implícita
Cuando la función está definida implícitamente por F(x,y) = 0, se deriva respecto a x tratando y como función de x:
Ejemplo resuelto
Hallar dy/dx si x2 + y2 = 25:
Derivando: 2x + 2y*y' = 0
y' = -x/y
Derivabilidad de funciones a trozos
Para que f sea derivable en x = a (punto de cambio de expresión), deben cumplirse:
- f debe ser continua en x = a.
- Las derivadas laterales deben existir y ser iguales: f'(a-) = f'(a+).
Ejemplo resuelto
Estudiar la derivabilidad de f(x) = {x2 si x ≤ 1, 2x-1 si x > 1}:
Continuidad: f(1) = 1, lim- = 1, lim+ = 1. Es continua.
Derivadas laterales: f'(1-) = 2*1 = 2, f'(1+) = 2. Son iguales.
f es derivable en x = 1 con f'(1) = 2.
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): Halla los valores de a y b para que la función:
f(x) = {ax + b si x ≤ 0, e2x si x > 0}
sea derivable en x = 0.
Problema 2 (EVAU): Dada f(x) = (x2-1)*ex:
a) Calcula f'(x) y f''(x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente en x = 0.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Derivación avanzada: logarítmica e implícita.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.