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Continuidad de funciones
Definición de continuidad
Una función f es continua en x = a si se cumplen tres condiciones:
- Existe f(a) (la función esta definida en a).
- Existe limx→a f(x) (el limite existe).
- limx→a f(x) = f(a) (el limite coincide con el valor de la función).
f es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todo punto del intervalo, continua por la derecha en a y por la izquierda en b.
Tipos de discontinuidad
- Discontinuidad evitable: existe el limite pero no coincide con f(a) (o f(a) no esta definida). Se puede "reparar" definiendo f(a) = lim.
- Discontinuidad de salto finito: existen los limites laterales pero son distintos. El salto es |lim+ - lim-|.
- Discontinuidad de salto infinito: alguno de los limites laterales es ±∞.
- Discontinuidad esencial: no existe alguno de los limites laterales (oscilación).
Ejemplo resuelto
Estudiar la continuidad de f(x) = {x2 si x ≤ 1, 3x-1 si x > 1}:
f(1) = 12 = 1
limx→1- x2 = 1
limx→1+ (3x-1) = 2
Como lim- ≠ lim+, hay discontinuidad de salto finito en x = 1, con salto = |2-1| = 1.
Teorema de Bolzano
Recuerda
Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a)*f(b) < 0 (tienen distinto signo), entonces existe al menos un c en (a,b) tal que f(c) = 0.
Aplicación principal: demostrar la existencia de raíces de ecuaciones.
Ejemplo resuelto
Demostrar que la ecuación x3 + x - 1 = 0 tiene al menos una solución en (0,1):
Sea f(x) = x3 + x - 1. Es un polinomio, luego es continua en R.
f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0
f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0
Como f es continua en [0,1] y f(0)*f(1) = -1 < 0, por el Teorema de Bolzano existe al menos un c en (0,1) tal que f(c) = 0.
Teorema de Weierstrass
Si f es continua en [a,b], entonces f alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en [a,b].
Ejercicio tipo EVAU
Problema 1 (EVAU): Estudia la continuidad de la función:
f(x) = {(x2-1)/(x-1) si x ≠ 1, k si x = 1}
a) Halla el valor de k para que f sea continua en x = 1.
b) Para k = 3, clasifica la discontinuidad en x = 1.
Problema 2 (EVAU): Demuestra que la ecuación ex = 3 - 2x tiene al menos una solución real.
📋 Resumen de la lección- continua en x = a
- continua en un intervalo [a,b]
- Discontinuidad evitable:
- Discontinuidad de salto finito:
- Discontinuidad de salto infinito:
- Discontinuidad esencial:
- Ejemplo resuelto
- discontinuidad de salto finito
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en Continuidad de funciones lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Continuidad de funciones.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.