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Ejemplos resueltos: Aplicaciones de la derivada
Ejemplo resuelto
Estudia los extremos y la monotonía de f(x) = x3 - 3x + 2.
Solución: f'(x) = 3x2-3 = 3(x-1)(x+1). f'(x)=0 en x=-1 y x=1. Signo: f' > 0 en (-inf,-1), f' < 0 en (-1,1), f' > 0 en (1,+inf). Máximo relativo en x=-1: f(-1)=4. Mínimo relativo en x=1: f(1)=0. Creciente en (-inf,-1) y (1,+inf), decreciente en (-1,1).
Ejemplo resuelto
Optimización: halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio R.
Solución: Si el rectángulo tiene lados 2x y 2y: x2+y2=R2. Área: A=4xy. Sustituimos y: A=4x sqrt(R2-x2). Derivamos e igualamos a 0: A'=4[sqrt(R2-x2) - x2/sqrt(R2-x2)] = 0 -> R2-2x2=0 -> x=R/sqrt(2). y=R/sqrt(2). El rectángulo es un cuadrado de lado R sqrt(2). Área máxima = 2R2.
Ejercicios
1. Estudia monotonía, extremos y curvatura de f(x) = xe-x.
2. Halla los intervalos de concavidad/convexidad y puntos de inflexión de f(x) = x4-6x2+8.
3. Optimización: de todos los rectángulos de perímetro 20, halla el de área máxima.
4. Optimización: minimiza la superficie de una lata cilíndrica de volumen 1 L.
5. Calcula las asíntotas de f(x) = x2/(x-1) y haz un esbozo de la gráfica.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Aplicaciones de la derivada - Ejemplos y ejercicios.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.