Vectores en el plano - Ampliación y resumen

Ejercicios
Ejercicios de ampliación:
1. Descompón el vector u=(7,1) como suma de dos vectores: uno paralelo a v=(3,1) y otro perpendicular.
2. Calcula el área del paralelogramo formado por u=(2,3) y v=(-1,4).
3. Demuestra la identidad del paralelogramo: |u+v|² + |u-v|² = 2(|u|² + |v|²).
4. Halla el punto que divide el segmento AB en razón 2:3 siendo A(1,2) y B(6,7).
5. Demuestra analíticamente que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Resumen del tema
Conceptos clave:
- Vector: AB = B - A = (b₁-a₁, b₂-a₂).
- Módulo: |v| = sqrt(v₁² + v₂²). Unitario: v/|v|.
- Producto escalar: u.v = u₁v₁ + u₂v₂ = |u||v|cos(ángulo).
- Perpendiculares: u.v = 0. Paralelos: u = kv.
- Proyección de u sobre v: proy = (u.v/|v|²) v.