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10.1 La recta en el plano
La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante coordenadas y ecuaciones.
Ecuaciones de la recta| Forma | Ecuación | Datos necesarios |
|---|
| Vectorial | (x,y) = (p1,p2) + t(d1,d2) | Punto + vector director |
| Paramétricas | x = p1 + t·d1, y = p2 + t·d2 | Punto + vector director |
| Continua | (x-p1)/d1 = (y-p2)/d2 | Punto + vector director |
| General | Ax + By + C = 0 | Vector normal n = (A, B) |
| Explícita | y = mx + n | Pendiente m, ordenada n |
| Punto-pendiente | y - y0 = m(x - x0) | Punto + pendiente |
Posiciones relativas de dos rectas
Secantes: Se cortan en un punto. Vectores directores no proporcionales.
Paralelas: Vectores directores proporcionales, pero sin ningún punto en común.
Coincidentes: Son la misma recta.
Distancia punto-recta
Distancia de P(x0, y0) a la recta Ax + By + C = 0:
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A2 + B2)
Ejemplo resuelto
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(4, -1).
Vector director: AB = (4-1, -1-3) = (3, -4)
Punto-pendiente: m = -4/3
y - 3 = (-4/3)(x - 1)
3y - 9 = -4x + 4
4x + 3y - 13 = 0
Ejemplo resuelto
Calcular la distancia del punto P(2, -1) a la recta 3x - 4y + 5 = 0.
d = |3(2) - 4(-1) + 5| / √(9 + 16)
d = |6 + 4 + 5| / √25
d = 15 / 5 = 3
Ejercicios
1) Halla la ecuación de la recta que pasa por (2,5) con pendiente m = -3.
2) Halla la distancia entre las rectas paralelas 2x - y + 3 = 0 y 2x - y - 7 = 0.
3) Determina la posición relativa de r: x + 2y = 5 y s: 2x + 4y = 7.
4) Halla el punto simétrico de P(3, 1) respecto de la recta x - y + 2 = 0.
5) Calcula el área del triángulo de vértices A(0,0), B(4,0), C(2,3).
Test de autoevaluación
1) La pendiente de la recta 2x + 3y - 6 = 0 es:
a) 2/3 b) -2/3 c) 3/2 d) -3/2
2) Dos rectas paralelas tienen:
a) Misma pendiente b) Pendientes opuestas c) Pendientes inversas d) Pendientes que suman 0
3) La distancia del origen a la recta 3x + 4y - 10 = 0 es:
a) 10 b) 2 c) 5 d) 10/7