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9.1 Vectores en el plano
Un vector es un segmento orientado definido por un modulo, una dirección y un sentido. Se representa como v = (v1, v2).
Operaciones con vectores
Suma: u + v = (u1+v1, u2+v2)
Resta: u - v = (u1-v1, u2-v2)
Producto por escalar: k · v = (k·v1, k·v2)
Modulo: |v| = √(v12 + v22)
Vector unitario: u = v / |v|
Producto escalar
Definición algebraica: u · v = u1v1 + u2v2
Definición geométrica: u · v = |u| · |v| · cos(θ)
donde θ es el angulo entre los vectores.
Angulo entre vectores: cos(θ) = (u · v) / (|u| · |v|)
Perpendicularidad: u ⊥ v ⇔ u · v = 0
Ejemplo resuelto
Dados u = (3, -1) y v = (2, 4), calcular:
a) u + v = (3+2, -1+4) = (5, 3)
b) |u| = √(9+1) = √10
c) u · v = 3(2) + (-1)(4) = 6 - 4 = 2
d) Angulo entre u y v:
|v| = √(4+16) = √20 = 2√5
cos(θ) = 2 / (√10 · 2√5) = 2 / (2√50) = 1/√50
θ = arccos(1/√50) ≈ 81.87 grados
Combinación lineal y dependencia lineal
Dependencia lineal
Dos vectores u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes si:
u1 · v2 - u2 · v1 = 0
Es decir, uno es múltiplo del otro. Geometricamente, son paralelos.
Ejercicios
1) Dados a = (1, 3) y b = (-2, 5), calcula 2a - 3b.
2) Halla el vector unitario de v = (5, -12).
3) Comprueba si u = (4, -6) y v = (-2, 3) son linealmente dependientes.
4) Halla k para que los vectores (k, 3) y (2, k-1) sean perpendiculares.
5) Descomponer w = (7, 1) como combinación lineal de u = (1, 2) y v = (3, -1).
Test de autoevaluación
1) El modulo de (3, 4) es:
a) 7 b) 5 c) 25 d) √7
2) Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es:
a) 1 b) -1 c) 0 d) Igual a sus módulos
3) El angulo entre (1,0) y (0,1) es:
a) 0 b) 45 c) 90 d) 180
📋 Resumen de la lección- Operaciones con vectores
- Suma:
- Resta:
- Producto por escalar:
- Modulo:
- Vector unitario:
- Producto escalar
- Definición algebraica:
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en 9.1 Vectores: operaciones y producto escalar lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre 9.1 Vectores: operaciones y producto escalar.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.