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8.1 Resolución de triángulos: teoremas del seno y del coseno
Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver cualquier triangulo (no solo los rectángulos).
Teorema del seno
En un triangulo de lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C:
a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita.
Teorema del coseno
a2 = b2 + c2 - 2bc · cos(A)
b2 = a2 + c2 - 2ac · cos(B)
c2 = a2 + b2 - 2ab · cos(C)
Es una generalización del teorema de Pitagoras (cuando A = 90, cos(A) = 0).
Área de un triangulo
Área = (1/2) · a · b · sen(C)
También: Área = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] (formula de Heron)
donde s = (a+b+c)/2 es el semiperimetro.
Ejemplo resuelto
En un triangulo, a = 7, b = 5, C = 60. Hallar c y el área.
Lado c (teorema del coseno):
c2 = 72 + 52 - 2(7)(5)cos(60)
c2 = 49 + 25 - 70 · (1/2)
c2 = 74 - 35 = 39
c = √39 ≈ 6.245
Área:
Área = (1/2)(7)(5)sen(60) = (35/2)(√3/2) = 35√3/4 ≈ 15.16 u2
Ejemplo resuelto
En un triangulo, a = 8, A = 40, B = 75. Hallar b y C.
C = 180 - 40 - 75 = 65
Teorema del seno: a/sen(A) = b/sen(B)
8/sen(40) = b/sen(75)
b = 8 · sen(75)/sen(40)
b = 8 · 0.9659/0.6428
b ≈ 12.02
Recuerda
Usa el teorema del coseno cuando conozcas dos lados y el angulo comprendido (LAL) o los tres lados (LLL). Usa el teorema del seno cuando conozcas un lado y dos ángulos (ALA o AAL) o dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos.
Ejercicios
1) En un triangulo: a = 10, b = 7, C = 50. Halla c.
2) En un triangulo: a = 6, b = 8, c = 10. Halla el angulo mayor.
3) Calcula el área de un triangulo con lados 5, 7 y 8 (usa Heron).
4) Desde dos puntos A y B separados 100 m se ve una torre con ángulos de elevación de 30 y 45. Halla la altura de la torre.
5) Un barco ve un faro con un angulo de 40. Tras navegar 3 km al norte, el angulo es 65. A que distancia esta el faro?
Test de autoevaluación
1) El teorema del coseno con angulo de 90 grados se reduce a:
a) Teorema de Tales b) Teorema de Pitagoras c) Teorema del seno d) Formula de Heron
2) Si a=5, b=5, A=30, cuantas soluciones tiene el triangulo?
a) Ninguna b) Una c) Dos d) Infinitas
3) El área de un triangulo equilátero de lado 6 es:
a) 9√3 b) 18 c) 36 d) 6√3
Ampliación: Resolución de triángulos
La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las formas, las figuras, sus propiedades y sus medidas. Nos permite describir y comprender el espacio que nos rodea.
Los elementos básicos de la geometría son: el punto (no tiene dimensiones), la recta (serie infinita de puntos alineados), el segmento (parte de una recta limitada por dos puntos) y el angulo (región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común).
Los polígonos son figuras planas cerradas formadas por segmentos rectos. Se clasifican según su numero de lados: triangulo (3), cuadrilátero (4), pentágono (5), hexágono (6), heptágono (7), octógono (8)...
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados. El área es la medida de la superficie que ocupa la figura.
📌 RecuerdaLos conceptos clave de esta lección sobre Resolución de triángulos son fundamentales para tu progreso en la asignatura. Repasa esta sección tantas veces como necesites y no dudes en pedir ayuda a tu profesor si algo no te queda claro.
📘 EjemploPara comprender mejor Resolución de triángulos, piensa en una situación de tu vida cotidiana donde puedas aplicar lo aprendido. Por ejemplo, cuando vas al supermercado, cuando lees un libro, cuando observas la naturaleza o cuando practicas deporte. Conectar la teoría con la practica hace que el aprendizaje sea mas significativo y duradero.
✏️ Ejercicios1. Define con tus propias palabras el concepto de Resolución de triángulos.
2. Pon un ejemplo numérico de Resolución de triángulos y resuelvelo paso a paso.
3. Resuelve los siguientes problemas:
a) Si un libro cuesta 12 euros y compras 3, ¿cuanto pagas en total?
b) Tienes 100 euros y gastas 37. ¿Cuanto te queda?
c) Reparte 48 caramelos entre 6 niños por igual. ¿Cuantos le tocan a cada uno?
4. Completa la serie: 5, 10, 15, ___, ___, ___, 35, ___
5. Escribe tres situaciones de la vida real donde necesites usar Resolución de triángulos.
6. Calcula mentalmente: a) 25 + 75 = ___ b) 100 - 47 = ___ c) 8 x 7 = ___
7. Un tren sale a las 9:30 y tarda 2 horas y 15 minutos. ¿A que hora llega?
8. Ordena de menor a mayor: 345, 243, 534, 432, 325.
🎯 Actividad practicaPractica con problemas reales:
1. Busca en un folleto de supermercado los precios de 5 productos. Calcula cuanto costaría comprar 3 unidades de cada uno.
2. Mide tu habitación (largo y ancho) y calcula su perímetro y área.
3. Crea 5 problemas sobre Resolución de triángulos y resuelvelos. Luego, intercámbialos con un compañero para que los resuelva.
4. Cronometra cuanto tardas en resolver 10 operaciones de calculo mental. Repite mañana e intenta mejorar tu tiempo.
📋 Resumen de la lección- En esta lección hemos profundizado en Resolución de triángulos.
- Es importante comprender los conceptos básicos antes de avanzar a niveles mas complejos.
- La practica constante y la resolución de ejercicios son clave para afianzar lo aprendido.
- Las matemáticas están presentes en todos los ámbitos de la vida cotidiana.
- Revisa tus errores para aprender de ellos: equivocarse es parte del proceso de aprendizaje.