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8.1 Resolución de triángulos: teoremas del seno y del coseno
Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver cualquier triángulo (no solo los rectángulos).
Teorema del seno
En un triángulo de lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C:
a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C) = 2R
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita.
Teorema del coseno
a2 = b2 + c2 - 2bc · cos(A)
b2 = a2 + c2 - 2ac · cos(B)
c2 = a2 + b2 - 2ab · cos(C)
Es una generalización del teorema de Pitágoras (cuando A = 90, cos(A) = 0).
Área de un triángulo
Área = (1/2) · a · b · sen(C)
También: Área = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] (fórmula de Herón)
donde s = (a+b+c)/2 es el semiperímetro.
Ejemplo resuelto
En un triángulo, a = 7, b = 5, C = 60. Hallar c y el área.
Lado c (teorema del coseno):
c2 = 72 + 52 - 2(7)(5)cos(60)
c2 = 49 + 25 - 70 · (1/2)
c2 = 74 - 35 = 39
c = √39 ≈ 6.245
Área:
Área = (1/2)(7)(5)sen(60) = (35/2)(√3/2) = 35√3/4 ≈ 15.16 u2
Ejemplo resuelto
En un triángulo, a = 8, A = 40, B = 75. Hallar b y C.
C = 180 - 40 - 75 = 65
Teorema del seno: a/sen(A) = b/sen(B)
8/sen(40) = b/sen(75)
b = 8 · sen(75)/sen(40)
b = 8 · 0.9659/0.6428
b ≈ 12.02
Recuerda
Usa el teorema del coseno cuando conozcas dos lados y el ángulo comprendido (LAL) o los tres lados (LLL). Usa el teorema del seno cuando conozcas un lado y dos ángulos (ALA o AAL) o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Ejercicios
1) En un triángulo: a = 10, b = 7, C = 50. Halla c.
2) En un triángulo: a = 6, b = 8, c = 10. Halla el ángulo mayor.
3) Calcula el área de un triángulo con lados 5, 7 y 8 (usa Herón).
4) Desde dos puntos A y B alineados con el pie de la torre, en el mismo lado y separados 100 m, se ve una torre con ángulos de elevación de 30 y 45. Halla la altura de la torre.
5) Un barco que navega hacia el norte ve un faro formando con su rumbo un ángulo de 40. Tras navegar 3 km al norte, el ángulo es 65. ¿A qué distancia está el faro desde la segunda posición?
Test de autoevaluación
1) El teorema del coseno con ángulo de 90 grados se reduce a:
a) Teorema de Tales b) Teorema de Pitágoras c) Teorema del seno d) Fórmula de Herón
2) Si a=5, b=5, A=30, ¿cuántas soluciones tiene el triángulo?
a) Ninguna b) Una c) Dos d) Infinitas
3) El área de un triángulo equilátero de lado 6 es:
a) 9√3 b) 18 c) 36 d) 6√3