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7.2 Formulas trigonométricas y ecuaciones
Formulas de suma y diferencia de ángulos
sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)
sen(α - β) = sen(α)cos(β) - cos(α)sen(β)
cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)
cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)
tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α)tan(β))
tan(α - β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α)tan(β))
Formulas del angulo doble
sen(2α) = 2 sen(α) cos(α)
cos(2α) = cos2(α) - sen2(α) = 2cos2(α) - 1 = 1 - 2sen2(α)
tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan2(α))
Formulas del angulo mitad
sen(α/2) = ±√((1 - cos(α))/2)
cos(α/2) = ±√((1 + cos(α))/2)
tan(α/2) = sen(α) / (1 + cos(α)) = (1 - cos(α)) / sen(α)
Ejemplo resuelto
Calcular sen(75) de forma exacta.
sen(75) = sen(45 + 30)
= sen(45)cos(30) + cos(45)sen(30)
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= √6/4 + √2/4
= (√6 + √2) / 4
Ecuaciones trigonométricas
Ejemplo resuelto
Resolver: 2sen2(x) - sen(x) - 1 = 0
Cambio: t = sen(x)
2t2 - t - 1 = 0
t = (1 ± √(1+8)) / 4 = (1 ± 3) / 4
t1 = 1, t2 = -1/2
Caso 1: sen(x) = 1 => x = 90 + 360k grados (x = π/2 + 2kπ)
Caso 2: sen(x) = -1/2 => x = 210 + 360k grados o x = 330 + 360k grados
(x = 7π/6 + 2kπ o x = 11π/6 + 2kπ)
Ejercicios
1) Calcula cos(15) de forma exacta.
2) Demuestra que sen(3x) = 3sen(x) - 4sen3(x)
3) Resuelve: cos(2x) + cos(x) = 0
4) Resuelve: sen(x) + cos(x) = 1
5) Simplifica: cos4(x) - sen4(x)
Test de autoevaluación
1) sen(45+45) es igual a:
a) sen(45)+sen(45) b) 2sen(45)cos(45) c) sen2(45) d) 1
2) cos(2α) si sen(α) = 1/3 vale:
a) 7/9 b) -7/9 c) 2/3 d) -1/9
3) Las soluciones de sen(x) = 1/2 en [0, 360) son:
a) 30 b) 30 y 150 c) 30 y 330 d) 150 y 210
4) tan(45+45) es:
a) 2 b) Indefinido c) 1 d) 0
📋 Resumen de la lección- Formulas de suma y diferencia de ángulos
- Formulas del angulo doble
- Formulas del angulo mitad
- Ejemplo resuelto
- (√6 + √2) / 4
- Ejemplo resuelto
- Ejercicios
- Test de autoevaluación
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en 7.2 Formulas trigonométricas y ecuaciones lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre 7.2 Formulas trigonométricas y ecuaciones.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.