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7.1 Razones trigonométricas
La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Las razones trigonométricas asocian a cada angulo un valor numérico.
Razones trigonométricas de un angulo agudoEn un triangulo rectángulo con angulo α, hipotenusa h, cateto opuesto a y cateto contiguo b:
| Razón | Definición |
|---|
| sen(α) | a / h (opuesto / hipotenusa) |
| cos(α) | b / h (contiguo / hipotenusa) |
| tan(α) | a / b = sen(α) / cos(α) |
| csc(α) | h / a = 1 / sen(α) |
| sec(α) | h / b = 1 / cos(α) |
| cot(α) | b / a = 1 / tan(α) |
Identidades fundamentales
Identidad pitagórica: sen2(α) + cos2(α) = 1
Derivadas:
tan2(α) + 1 = sec2(α)
1 + cot2(α) = csc2(α)
Razones trigonométricas de ángulos notables
Tabla de valores exactos| Angulo | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
|---|
| sen | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | -- |
Ángulos en la circunferencia goniometrica
Para ángulos de cualquier amplitud, usamos la circunferencia unidad. Las coordenadas del punto son (cos α, sen α).
Signos por cuadrantes| Cuadrante | sen | cos | tan |
|---|
| I (0-90) | + | + | + |
| II (90-180) | + | - | - |
| III (180-270) | - | - | + |
| IV (270-360) | - | + | - |
Ejemplo resuelto
Si sen(α) = 3/5 y α esta en el segundo cuadrante, hallar cos(α) y tan(α).
Usamos sen2(α) + cos2(α) = 1:
(3/5)2 + cos2(α) = 1
9/25 + cos2(α) = 1
cos2(α) = 16/25
cos(α) = ±4/5
En el II cuadrante, cos es negativo: cos(α) = -4/5
tan(α) = sen/cos = (3/5)/(-4/5) = -3/4
Ejercicios
1) Si cos(α) = 5/13 y α esta en el I cuadrante, halla sen(α) y tan(α).
2) Calcula las razones trigonométricas de 210 grados.
3) Simplifica: sen2(x) + sen2(x) · tan2(x)
4) Demuestra que (1 - cos2(x)) / cos2(x) = tan2(x)
5) Si tan(α) = 2 y α en el III cuadrante, halla sen(α) y cos(α).