6.1 Inecuaciones y sistemas

Reglas para inecuaciones
1) Se puede sumar o restar el mismo numero a ambos miembros sin cambiar el sentido.
2) Se puede multiplicar o dividir por un numero positivo sin cambiar el sentido.
3) Al multiplicar o dividir por un numero negativo, se invierte el sentido de la desigualdad.

Ejemplo resuelto
Resolver: 3x - 5 ≤ 2x + 3

3x - 2x ≤ 3 + 5
x ≤ 8

Solución: (-∞, 8]

Método de resolución
1) Igualar a cero: ax² + bx + c ≥ 0 (o ≤, >, <)
2) Hallar las raíces del polinomio.
3) Estudiar el signo en cada intervalo (el polinomio cambia de signo en las raíces).
4) Seleccionar los intervalos según la desigualdad.

Ejemplo resuelto
Resolver: x² - 3x - 4 > 0

Paso 1: Hallamos las raíces: x² - 3x - 4 = 0
x = (3 ± √(9+16)) / 2 = (3 ± 5) / 2
x₁ = -1, x₂ = 4

Paso 2: Estudio de signos (coeficiente principal positivo, parábola abierta hacia arriba):

Intervalo	Signo
(-∞, -1)	+
(-1, 4)	-
(4, +∞)	+

Buscamos > 0: (-∞, -1) U (4, +∞)

Ejemplo resuelto
Resolver: (x+1)/(x-2) ≤ 0

Puntos críticos: x = -1 (numerador = 0), x = 2 (denominador = 0)

Intervalo	x+1	x-2	Cociente
(-∞, -1)	-	-	+
(-1, 2)	+	-	-
(2, +∞)	+	+	+

Buscamos ≤ 0. En x = -1 vale 0 (incluido). En x = 2 no esta definido (excluido).

Solución: [-1, 2)

Ejercicios
1) Resuelve: 2x + 5 > 3x - 1
2) Resuelve: x² - 6x + 8 ≤ 0
3) Resuelve: (2x-1)/(x+3) > 0
4) Resuelve el sistema: x + 3 > 0 y 2x - 1 < 5
5) Resuelve: x³ - 4x > 0

Test de autoevaluación
1) La solución de x² - 1 < 0 es:
a) (-1, 1)   b) (-∞,-1)U(1,+∞)   c) [-1, 1]   d) R

2) Al multiplicar una inecuacion por -2:
a) No cambia nada   b) Se invierte el sentido   c) Se anula   d) Se duplica

3) La solución de x/(x-1) ≥ 0 es:
a) (-∞,0]U(1,+∞)   b) (0,1)   c) [0,1]   d) (-∞,0)U[1,+∞)