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5.1 Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Métodos de resolución
Sustitución: Despejar una incógnita y sustituir en la otra ecuación.
Igualación: Despejar la misma incógnita en ambas y resolver.
Reducción: Sumar/restar ecuaciones para eliminar una incógnita.
Regla de Cramer (determinantes):
x = |c1 b1; c2 b2| / |a1 b1; a2 b2|
y = |a1 c1; a2 c2| / |a1 b1; a2 b2|
Clasificación de sistemas
Compatible determinado (SCD): Solución única. Las rectas se cortan.
Compatible indeterminado (SCI): Infinitas soluciones. Las rectas coinciden.
Incompatible (SI): Sin solución. Las rectas son paralelas.
Ejemplo resuelto
Resolver por Cramer: 3x + 2y = 7 y 2x - y = 4
D = |3, 2; 2, -1| = 3(-1) - 2(2) = -3 - 4 = -7
Dx = |7, 2; 4, -1| = 7(-1) - 2(4) = -7 - 8 = -15
Dy = |3, 7; 2, 4| = 3(4) - 7(2) = 12 - 14 = -2
x = Dx/D = -15/(-7) = 15/7
y = Dy/D = -2/(-7) = 2/7
Solución: x = 15/7, y = 2/7
Sistemas no lineales
Ejemplo resuelto
Resolver: x + y = 5 y x2 + y2 = 13
De la 1a ecuación: y = 5 - x
Sustituimos en la 2a:
x2 + (5-x)2 = 13
x2 + 25 - 10x + x2 = 13
2x2 - 10x + 12 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 => y = 3
x = 3 => y = 2
Soluciones: (2, 3) y (3, 2)
Ejercicios
1) Resuelve por reducción: 4x - 3y = 1, 2x + 5y = 19
2) Clasifica el sistema: 2x + 4y = 6, x + 2y = 3
3) Resuelve: x · y = 12, x + y = 7
4) Resuelve: x2 - y2 = 7, x - y = 1
5) Resuelve el sistema 3x3: x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 3
Test de autoevaluación
1) El sistema x+y=3, 2x+2y=5 es:
a) Compatible determinado b) Compatible indeterminado c) Incompatible d) No se puede saber
2) Si D = 0 y Dx ≠ 0 en Cramer, el sistema es:
a) SCD b) SCI c) SI d) Tiene infinitas soluciones
3) El sistema xy=6, x+y=5 tiene soluciones:
a) (2,3) y (3,2) b) (1,6) c) (6,1) d) No tiene solución
📋 Resumen de la lección- Métodos de resolución
- Sustitución:
- Igualación:
- Reducción:
- Regla de Cramer (determinantes):
- Clasificación de sistemas
- Compatible determinado (SCD):
- Compatible indeterminado (SCI):
🤔 ¿Sabías que...?Las matemáticas están en todas partes. Lo que has aprendido en 5.1 Sistemas lineales y no lineales lo puedes aplicar en situaciones reales como ir a la compra, medir habitaciones o calcular tiempos.
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre 5.1 Sistemas lineales y no lineales.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.