Estadística y probabilidad
1. Estadística descriptiva unidimensional
La estadística descriptiva organiza, resume y presenta datos de forma comprensible. Una variable estadística puede ser:
• Cualitativa: expresa cualidades (color, tipo, categoría).
• Cuantitativa discreta: valores aislados, generalmente enteros (nº de hermanos).
• Cuantitativa continua: puede tomar cualquier valor en un intervalo (altura, peso).
Tablas de frecuencias
| Concepto | Notación | Definición |
|---|
| Frecuencia absoluta | fᵢ | Nº de veces que se repite el valor xᵢ |
| Frecuencia relativa | hᵢ | hᵢ = fᵢ / N (proporción sobre el total) |
| Frecuencia abs. acumulada | Fᵢ | Fᵢ = f₁ + f₂ + ... + fᵢ |
| Frecuencia rel. acumulada | Hᵢ | Hᵢ = h₁ + h₂ + ... + hᵢ |
Medidas de centralización
Media aritmética:
x̄ = (1/N) · Σ fᵢ · xᵢ
Mediana (Me): Valor que deja la mitad de los datos por debajo y la mitad por encima (se ordena la muestra y se busca la posición central).
Moda (Mo): Valor con mayor frecuencia absoluta.
Medidas de dispersión
Rango: R = xmáx − xmín
Varianza:
σ² = (1/N) · Σ fᵢ · (xᵢ − x̄)² = (1/N) · Σ fᵢxᵢ² − x̄²
Desviación típica: σ = √σ²
Coeficiente de variación: CV = σ / |x̄| (permite comparar dispersiones de distribuciones con distintas unidades o medias).
📘 Ejemplo resueltoCalcula la media, la varianza y la desviación típica de los datos: 3, 5, 5, 7, 7, 7, 9.
N = 7
x̄ = (3 + 5 + 5 + 7 + 7 + 7 + 9) / 7 = 43/7 ≈ 6.14
σ² = [(3 − 6.14)² + 2(5 − 6.14)² + 3(7 − 6.14)² + (9 − 6.14)²] / 7
= [9.86 + 2·1.30 + 3·0.74 + 8.18] / 7 = [9.86 + 2.60 + 2.22 + 8.18] / 7 ≈ 22.86 / 7 ≈ 3.27
σ = √3.27 ≈ 1.81
Medidas de posición: percentiles y cuartiles
El percentil Pₖ es el valor por debajo del cual se encuentra el k% de los datos. Los cuartiles son los percentiles 25, 50 y 75:
• Q₁ = P₂₅ (primer cuartil)
• Q₂ = P₅₀ = Mediana
• Q₃ = P₇₅ (tercer cuartil)
• Rango intercuartílico: RIC = Q₃ − Q₁
2. Estadística bidimensional: correlación y regresión
Cuando se estudian dos variables simultáneamente (X, Y), se trabaja con pares de datos (xᵢ, yᵢ). La nube de puntos permite visualizar la relación.
Covarianza y coeficiente de correlación
σxy = (1/N) · Σ fᵢ · xᵢ · yᵢ − x̄ · ȳ
r = σxy / (σx · σy) (coeficiente de correlación de Pearson)
Interpretación de r:
• r ≈ 1: fuerte correlación lineal positiva.
• r ≈ −1: fuerte correlación lineal negativa.
• r ≈ 0: ausencia de correlación lineal.
Rectas de regresión
La recta de regresión de Y sobre X es:
y − ȳ = (σxy / σ²x) · (x − x̄)
Se utiliza para predecir valores de Y a partir de X. La predicción solo es fiable si |r| es próximo a 1 (buena correlación).
📘 Ejemplo resueltoDatos: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 8), (5, 9). Halla la recta de regresión de Y sobre X.
N = 5; x̄ = 15/5 = 3; ȳ = 28/5 = 5.6
Σxᵢyᵢ = 1·2 + 2·4 + 3·5 + 4·8 + 5·9 = 2 + 8 + 15 + 32 + 45 = 102
σxy = 102/5 − 3·5.6 = 20.4 − 16.8 = 3.6
Σxᵢ² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 → σ²x = 55/5 − 9 = 2
Pendiente: m = σxy/σ²x = 3.6/2 = 1.8
y − 5.6 = 1.8(x − 3) → y = 1.8x + 0.2
3. Combinatoria
Principio fundamental de conteo
Si una operación se puede realizar de n₁ maneras, y para cada una de ellas otra operación se puede realizar de n₂ maneras, el total de formas es n₁ · n₂ (y así sucesivamente para más operaciones).
Permutaciones, variaciones y combinaciones
| Tipo | Fórmula | Descripción |
|---|
| Permutaciones de n | Pₙ = n! | Ordenaciones de n elementos distintos |
| Variaciones sin rep. | V(n,k) = n!/(n−k)! | Grupos ordenados de k entre n |
| Variaciones con rep. | VR(n,k) = nᵏ | Grupos ordenados con repetición |
| Combinaciones sin rep. | C(n,k) = n!/[k!(n−k)!] | Grupos sin importar el orden |
| Permutaciones con rep. | P(n; n₁,...,nₖ) = n!/(n₁!·...·nₖ!) | Con elementos repetidos |
📘 Ejemplo resuelto¿De cuántas formas se puede elegir un comité de 3 personas entre 10 candidatos?
No importa el orden → Combinaciones.
C(10, 3) = 10! / (3! · 7!) = (10 · 9 · 8) / (3 · 2 · 1) = 720 / 6 = 120
4. Probabilidad
Definición clásica (Laplace)
P(A) = número de casos favorables / número de casos posibles
(Cuando todos los sucesos elementales son equiprobables.)
Axiomática de Kolmogórov
Sea Ω el espacio muestral. Una función de probabilidad P cumple:
1. P(A) ≥ 0 para todo suceso A.
2. P(Ω) = 1.
3. Si A ∩ B = ∅, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Propiedades
• P(Ā) = 1 − P(A) (complementario).
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B).
Probabilidad condicionada e independencia
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (P(B) > 0)
Dos sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B), o equivalentemente, si P(A|B) = P(A).
Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes
Si {B₁, B₂, ..., Bₙ} es una partición del espacio muestral (sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos):
P(A) = Σ P(A|Bᵢ) · P(Bᵢ) (Probabilidad total)
P(Bₖ|A) = P(A|Bₖ) · P(Bₖ) / P(A) (Teorema de Bayes)
📘 Ejemplo resueltoEn una fábrica, la máquina A produce el 60% de las piezas y la B el 40%. La máquina A produce un 3% de piezas defectuosas y la B un 5%. Si se elige una pieza al azar y resulta defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que la haya fabricado la máquina A?
P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(D|A) = 0.03, P(D|B) = 0.05
P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) = 0.03·0.6 + 0.05·0.4 = 0.018 + 0.020 = 0.038
P(A|D) = P(D|A)·P(A) / P(D) = 0.018 / 0.038 ≈ 0.4737 (≈ 47.4%)
✏️ Ejercicios propuestos1. Los datos de notas de 20 alumnos son: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10. Calcula: media, mediana, moda, varianza y desviación típica.
2. En un estudio, la altura media es 170 cm con σ = 8 cm y el peso medio es 70 kg con σ = 12 kg. ¿Qué variable presenta mayor dispersión relativa?
3. Con los datos: (2, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 8), (8, 10), calcula el coeficiente de correlación r y la recta de regresión de Y sobre X.
4. ¿Cuántas palabras de 4 letras (con o sin sentido) se pueden formar con las letras A, B, C, D, E? ¿Y sin repetir letras?
5. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra ESTADÍSTICA?
6. Se lanzan dos dados. Calcula: a) P(suma = 7), b) P(al menos un 6), c) P(suma par).
7. En una urna hay 5 bolas rojas y 3 azules. Se extraen 2 sin reemplazo. Calcula P(las dos son rojas).
8. (EVAU) Un test tiene 10 preguntas con 4 opciones cada una. Si se contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 3?
9. El 1% de la población tiene cierta enfermedad. Un test la detecta con un 95% de acierto (sensibilidad) y da falso positivo en el 3% de los sanos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma? (Bayes)
10. Demuestra que para sucesos independientes A y B, los sucesos Ā y B̄ también son independientes.
🤔 ¿Sabías que...?El teorema de Bayes, formulado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVIII y publicado póstumamente en 1763, es fundamental en la inteligencia artificial moderna. Los filtros de spam, los sistemas de diagnóstico médico y los motores de búsqueda utilizan razonamiento bayesiano para actualizar probabilidades a medida que se obtiene nueva información.
📋 Resumen de la lección- La media, la mediana y la moda son las principales medidas de centralización.
- La varianza σ² y la desviación típica σ miden la dispersión de los datos.
- El coeficiente de correlación r ∈ [−1, 1] mide la asociación lineal entre dos variables.
- La recta de regresión permite predecir valores de una variable a partir de otra.
- Combinatoria: permutaciones (orden importa, todos), variaciones (orden importa, grupo), combinaciones (orden no importa).
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B).
- El teorema de Bayes permite invertir probabilidades condicionadas.