Temario gratis › Matemáticas I - 1.º Bachillerato

4.1 Ecuaciones de 2.º grado, bicuadradas e irracionales

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Introducción

Muchas ecuaciones que aparecen en Bachillerato se reducen, con el cambio adecuado, a una ecuación de segundo grado. En esta lección repasamos cómo resolver estas ecuaciones y cómo aplicarlas a dos tipos especiales: las bicuadradas y las irracionales (con la incógnita dentro de una raíz).

Explicación

Ecuación de segundo grado: ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Sus soluciones son

x = (−b ± √Δ) / (2a), donde Δ = b² − 4ac es el discriminante.

Si Δ > 0: dos soluciones reales distintas.
Si Δ = 0: una solución real doble, x = −b/(2a).
Si Δ < 0: no tiene soluciones reales.

Las soluciones cumplen x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a, lo que sirve para comprobar resultados. Las ecuaciones incompletas se resuelven más rápido: ax² + bx = 0 sacando factor común x; ax² + c = 0 despejando x².

Ecuaciones bicuadradas: son de la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Se hace el cambio t = x², se resuelve at² + bt + c = 0 y se deshace el cambio: cada valor t > 0 da dos soluciones x = ±√t; t = 0 da x = 0; un valor t < 0 no da soluciones reales. Por eso una bicuadrada tiene como máximo 4 soluciones reales.

Ecuaciones irracionales: la incógnita aparece bajo una raíz. El método es:

Aislar la raíz en un miembro.
Elevar ambos miembros al cuadrado (repetir si queda otra raíz).
Resolver la ecuación resultante.
Comprobar todas las soluciones en la ecuación original: al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas, porque a² = b² no implica a = b.

Ejemplo

Ejemplo 1 (bicuadrada). x⁴ − 13x² + 36 = 0. Con t = x²: t² − 13t + 36 = 0, Δ = 169 − 144 = 25, t = (13 ± 5)/2, es decir, t = 9 o t = 4. Deshaciendo el cambio: x² = 9 → x = ±3; x² = 4 → x = ±2. Soluciones: −3, −2, 2 y 3.

Ejemplo 2 (irracional). √(x + 7) = x − 5. Elevamos al cuadrado: x + 7 = x² − 10x + 25, luego x² − 11x + 18 = 0, con soluciones x = 9 y x = 2.

Comprobación de x = 9: √16 = 4 y 9 − 5 = 4. Es válida.
Comprobación de x = 2: √9 = 3 y 2 − 5 = −3. No es válida.
Solución única: x = 9.

Ejercicios

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación bicuadrada x⁴ − 3x² − 4 = 0?

Resuelve la ecuación irracional √(2x + 3) = x.

Material adicional

Estadística y probabilidad

1. Estadística descriptiva unidimensional

La estadística descriptiva organiza, resume y presenta datos de forma comprensible. Una variable estadística puede ser:

• Cualitativa: expresa cualidades (color, tipo, categoría).
• Cuantitativa discreta: valores aislados, generalmente enteros (nº de hermanos).
• Cuantitativa continua: puede tomar cualquier valor en un intervalo (altura, peso).

Tablas de frecuencias

Concepto	Notación	Definición
Frecuencia absoluta	fᵢ	Nº de veces que se repite el valor xᵢ
Frecuencia relativa	hᵢ	hᵢ = fᵢ / N (proporción sobre el total)
Frecuencia abs. acumulada	Fᵢ	Fᵢ = f₁ + f₂ + ... + fᵢ
Frecuencia rel. acumulada	Hᵢ	Hᵢ = h₁ + h₂ + ... + hᵢ

Medidas de centralización

Media aritmética:

x̄ = (1/N) · Σ fᵢ · xᵢ

Mediana (Me): Valor que deja la mitad de los datos por debajo y la mitad por encima (se ordena la muestra y se busca la posición central).

Moda (Mo): Valor con mayor frecuencia absoluta.

Medidas de dispersión

Rango: R = x_máx − x_mín

Varianza:

σ² = (1/N) · Σ fᵢ · (xᵢ − x̄)² = (1/N) · Σ fᵢxᵢ² − x̄²

Desviación típica: σ = √σ²

Coeficiente de variación: CV = σ / |x̄| (permite comparar dispersiones de distribuciones con distintas unidades o medias).

📘 Ejemplo resuelto

Calcula la media, la varianza y la desviación típica de los datos: 3, 5, 5, 7, 7, 7, 9.

N = 7
x̄ = (3 + 5 + 5 + 7 + 7 + 7 + 9) / 7 = 43/7 ≈ 6.14

σ² = [(3 − 6.14)² + 2(5 − 6.14)² + 3(7 − 6.14)² + (9 − 6.14)²] / 7
= [9.86 + 2·1.30 + 3·0.74 + 8.18] / 7 = [9.86 + 2.60 + 2.22 + 8.18] / 7 ≈ 22.86 / 7 ≈ 3.27

σ = √3.27 ≈ 1.81

Medidas de posición: percentiles y cuartiles

El percentil Pₖ es el valor por debajo del cual se encuentra el k% de los datos. Los cuartiles son los percentiles 25, 50 y 75:

• Q₁ = P₂₅ (primer cuartil)
• Q₂ = P₅₀ = Mediana
• Q₃ = P₇₅ (tercer cuartil)
• Rango intercuartílico: RIC = Q₃ − Q₁

2. Estadística bidimensional: correlación y regresión

Cuando se estudian dos variables simultáneamente (X, Y), se trabaja con pares de datos (xᵢ, yᵢ). La nube de puntos permite visualizar la relación.

Covarianza y coeficiente de correlación

σ_xy = (1/N) · Σ fᵢ · xᵢ · yᵢ − x̄ · ȳ

r = σ_xy / (σ_x · σ_y) (coeficiente de correlación de Pearson)

Interpretación de r:

• r ≈ 1: fuerte correlación lineal positiva.
• r ≈ −1: fuerte correlación lineal negativa.
• r ≈ 0: ausencia de correlación lineal.

Rectas de regresión

La recta de regresión de Y sobre X es:

y − ȳ = (σ_xy / σ²_x) · (x − x̄)

Se utiliza para predecir valores de Y a partir de X. La predicción solo es fiable si |r| es próximo a 1 (buena correlación).

📘 Ejemplo resuelto

Datos: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 8), (5, 9). Halla la recta de regresión de Y sobre X.

N = 5; x̄ = 15/5 = 3; ȳ = 28/5 = 5.6
Σxᵢyᵢ = 1·2 + 2·4 + 3·5 + 4·8 + 5·9 = 2 + 8 + 15 + 32 + 45 = 102
σ_xy = 102/5 − 3·5.6 = 20.4 − 16.8 = 3.6
Σxᵢ² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 → σ²_x = 55/5 − 9 = 2

Pendiente: m = σ_xy/σ²_x = 3.6/2 = 1.8
y − 5.6 = 1.8(x − 3) → y = 1.8x + 0.2

3. Combinatoria

Principio fundamental de conteo

Si una operación se puede realizar de n₁ maneras, y para cada una de ellas otra operación se puede realizar de n₂ maneras, el total de formas es n₁ · n₂ (y así sucesivamente para más operaciones).

Permutaciones, variaciones y combinaciones

Tipo	Fórmula	Descripción
Permutaciones de n	Pₙ = n!	Ordenaciones de n elementos distintos
Variaciones sin rep.	V(n,k) = n!/(n−k)!	Grupos ordenados de k entre n
Variaciones con rep.	VR(n,k) = nᵏ	Grupos ordenados con repetición
Combinaciones sin rep.	C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]	Grupos sin importar el orden
Permutaciones con rep.	P(n; n₁,...,nₖ) = n!/(n₁!·...·nₖ!)	Con elementos repetidos

📘 Ejemplo resuelto

¿De cuántas formas se puede elegir un comité de 3 personas entre 10 candidatos?

No importa el orden → Combinaciones.
C(10, 3) = 10! / (3! · 7!) = (10 · 9 · 8) / (3 · 2 · 1) = 720 / 6 = 120

4. Probabilidad

Definición clásica (Laplace)

P(A) = número de casos favorables / número de casos posibles

(Cuando todos los sucesos elementales son equiprobables.)

Axiomática de Kolmogórov

Sea Ω el espacio muestral. Una función de probabilidad P cumple:

1. P(A) ≥ 0 para todo suceso A.
2. P(Ω) = 1.
3. Si A ∩ B = ∅, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Propiedades

• P(Ā) = 1 − P(A) (complementario).
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B).

Probabilidad condicionada e independencia

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) (P(B) > 0)

Dos sucesos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B), o equivalentemente, si P(A|B) = P(A).

Teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes

Si {B₁, B₂, ..., Bₙ} es una partición del espacio muestral (sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos):

P(A) = Σ P(A|Bᵢ) · P(Bᵢ) (Probabilidad total)

P(Bₖ|A) = P(A|Bₖ) · P(Bₖ) / P(A) (Teorema de Bayes)

📘 Ejemplo resuelto

En una fábrica, la máquina A produce el 60% de las piezas y la B el 40%. La máquina A produce un 3% de piezas defectuosas y la B un 5%. Si se elige una pieza al azar y resulta defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que la haya fabricado la máquina A?

P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(D|A) = 0.03, P(D|B) = 0.05

P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) = 0.03·0.6 + 0.05·0.4 = 0.018 + 0.020 = 0.038

P(A|D) = P(D|A)·P(A) / P(D) = 0.018 / 0.038 ≈ 0.4737 (≈ 47.4%)

✏️ Ejercicios propuestos

1. Los datos de notas de 20 alumnos son: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10. Calcula: media, mediana, moda, varianza y desviación típica.

2. En un estudio, la altura media es 170 cm con σ = 8 cm y el peso medio es 70 kg con σ = 12 kg. ¿Qué variable presenta mayor dispersión relativa?

3. Con los datos: (2, 3), (3, 5), (5, 6), (6, 8), (8, 10), calcula el coeficiente de correlación r y la recta de regresión de Y sobre X.

4. ¿Cuántas palabras de 4 letras (con o sin sentido) se pueden formar con las letras A, B, C, D, E? ¿Y sin repetir letras?

5. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra ESTADÍSTICA?

6. Se lanzan dos dados. Calcula: a) P(suma = 7), b) P(al menos un 6), c) P(suma par).

7. En una urna hay 5 bolas rojas y 3 azules. Se extraen 2 sin reemplazo. Calcula P(las dos son rojas).

8. (EVAU) Un test tiene 10 preguntas con 4 opciones cada una. Si se contesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente 3?

9. El 1% de la población tiene cierta enfermedad. Un test la detecta con un 95% de acierto (sensibilidad) y da falso positivo en el 3% de los sanos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma? (Bayes)

10. Demuestra que para sucesos independientes A y B, los sucesos Ā y B̄ también son independientes.

🤔 ¿Sabías que...?

El teorema de Bayes, formulado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVIII y publicado póstumamente en 1763, es fundamental en la inteligencia artificial moderna. Los filtros de spam, los sistemas de diagnóstico médico y los motores de búsqueda utilizan razonamiento bayesiano para actualizar probabilidades a medida que se obtiene nueva información.

📋 Resumen de la lección

La media, la mediana y la moda son las principales medidas de centralización.
La varianza σ² y la desviación típica σ miden la dispersión de los datos.
El coeficiente de correlación r ∈ [−1, 1] mide la asociación lineal entre dos variables.
La recta de regresión permite predecir valores de una variable a partir de otra.
Combinatoria: permutaciones (orden importa, todos), variaciones (orden importa, grupo), combinaciones (orden no importa).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B).
El teorema de Bayes permite invertir probabilidades condicionadas.

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