Introducción a las derivadas
1. Tasa de variación media e instantánea
La tasa de variación media (TVM) de una función f en el intervalo [a, b] es:
TVM = [f(b) − f(a)] / (b − a)
Geométricamente, es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
La tasa de variación instantánea (TVI) en x = a se obtiene tomando el límite cuando el intervalo se reduce a un punto:
TVI = limh→0 [f(a + h) − f(a)] / h
Este límite, si existe, es la derivada de f en x = a, que se denota f'(a).
2. Definición formal de derivada
f'(x) = limh→0 [f(x + h) − f(x)] / h
Notaciones alternativas: f'(x), df/dx, Df(x), ẏ (si la variable es el tiempo).
La función f es derivable en x = a si el límite anterior existe y es finito. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a (pero no al revés: |x| es continua en 0 pero no derivable).
📘 Ejemplo resueltoCalcula f'(x) usando la definición para f(x) = x².
f'(x) = limh→0 [(x+h)² − x²] / h = limh→0 [x² + 2xh + h² − x²] / h
= limh→0 [2xh + h²] / h = limh→0 (2x + h) = 2x
3. Interpretación geométrica
La derivada f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)). La ecuación de la recta tangente es:
y − f(a) = f'(a) · (x − a)
La recta normal en ese punto es perpendicular a la tangente, por lo que su pendiente es −1/f'(a) (si f'(a) ≠ 0).
📘 Ejemplo resueltoHalla la ecuación de la recta tangente a f(x) = x³ − 2x en x = 1.
f(1) = 1 − 2 = −1 → punto (1, −1)
f'(x) = 3x² − 2 → f'(1) = 3 − 2 = 1
Recta tangente: y − (−1) = 1 · (x − 1) → y + 1 = x − 1 → y = x − 2
4. Reglas de derivación
Las reglas permiten derivar funciones sin recurrir a la definición:
| Función f(x) | Derivada f'(x) |
|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ (n ∈ ℝ) | n · xⁿ⁻¹ |
| eˣ | eˣ |
| aˣ (a > 0) | aˣ · ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x · ln a) |
| sen x | cos x |
| cos x | −sen x |
| tan x | 1/cos²x = sec²x |
Reglas algebraicas
• (f ± g)' = f' ± g'
• (k · f)' = k · f'
• Producto: (f · g)' = f' · g + f · g'
• Cociente: (f/g)' = (f' · g − f · g') / g²
• Regla de la cadena: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
📘 Ejemplo resueltoDeriva f(x) = (3x² + 1)⁵.
Aplicamos la regla de la cadena:
f'(x) = 5(3x² + 1)⁴ · (3x² + 1)' = 5(3x² + 1)⁴ · 6x = 30x(3x² + 1)⁴
📘 Ejemplo resueltoDeriva f(x) = eˢᵉⁿ ˣ · cos x.
Usamos la regla del producto y la cadena:
f'(x) = (eˢᵉⁿ ˣ)' · cos x + eˢᵉⁿ ˣ · (cos x)'
= eˢᵉⁿ ˣ · cos x · cos x + eˢᵉⁿ ˣ · (−sen x)
= eˢᵉⁿ ˣ · (cos²x − sen x)
= eˢᵉⁿ ˣ · (cos²x − sen x)
5. Derivación logarítmica
Para funciones de la forma f(x) = g(x)h(x), se toma logaritmo neperiano a ambos lados:
ln f = h(x) · ln g(x) → f'/f = h' · ln g + h · g'/g
📘 Ejemplo resueltoDeriva f(x) = xˣ (x > 0).
ln f = x · ln x
f'/f = 1 · ln x + x · (1/x) = ln x + 1
f'(x) = xˣ · (ln x + 1) = xˣ(ln x + 1)
6. Aplicaciones de la derivada
Monotonía y extremos relativos
• Si f'(x) > 0 en un intervalo → f es creciente en ese intervalo.
• Si f'(x) < 0 → f es decreciente.
• Si f'(a) = 0 o f'(a) no existe → a es un punto crítico.
• Si f' cambia de signo en a: de + a − → máximo relativo; de − a + → mínimo relativo.
Curvatura y puntos de inflexión
• Si f''(x) > 0 → f es convexa (cóncava hacia arriba).
• Si f''(x) < 0 → f es cóncava (cóncava hacia abajo).
• Si f''(a) = 0 y f'' cambia de signo en a → a es un punto de inflexión.
📘 Ejemplo resueltoEstudia la monotonía y los extremos de f(x) = x³ − 3x + 2.
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1)
f'(x) = 0 → x = −1 o x = 1 (puntos críticos)
Signo de f'(x):
• x < −1: f'(x) > 0 → creciente
• −1 < x < 1: f'(x) < 0 → decreciente
• x > 1: f'(x) > 0 → creciente
En x = −1: f' cambia de + a − → máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 4)
En x = 1: f' cambia de − a + → mínimo relativo en (1, f(1)) = (1, 0)
Optimización
Los problemas de optimización consisten en maximizar o minimizar una magnitud. El procedimiento es:
1. Identificar la variable a optimizar y escribir la función objetivo.
2. Establecer las restricciones del problema.
3. Expresar la función objetivo en términos de una sola variable.
4. Derivar, igualar a cero y resolver.
5. Comprobar que se trata de un máximo o mínimo (signo de la segunda derivada o estudio de la primera).
📘 Ejemplo resueltoSe quiere cercar un terreno rectangular de 200 m² con la menor cantidad de valla. ¿Cuáles son las dimensiones?
Sea x = ancho, y = largo. Restricción: xy = 200 → y = 200/x.
Perímetro: P(x) = 2x + 2y = 2x + 400/x (x > 0)
P'(x) = 2 − 400/x² = 0 → x² = 200 → x = √200 = 10√2 ≈ 14.14 m
y = 200/(10√2) = 10√2 ≈ 14.14 m
P''(x) = 800/x³ > 0 → es un mínimo. ✓
El terreno óptimo es un cuadrado de lado 10√2 ≈ 14.14 m.
✏️ Ejercicios propuestos1. Usando la definición de derivada, calcula f'(x) para f(x) = 1/x.
2. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a f(x) = √x en x = 4.
3. Deriva las siguientes funciones:
a) f(x) = x² · eˣ
b) f(x) = ln(x² + 1)
c) f(x) = sen³(2x)
d) f(x) = (x − 1)/(x² + 1)
4. Estudia la monotonía y halla los extremos de f(x) = xe−x.
5. Halla los puntos de inflexión de f(x) = x⁴ − 6x² + 5.
6. Deriva f(x) = x√x (x > 0) usando derivación logarítmica.
7. (EVAU) Se dispone de 100 cm de alambre para hacer un rectángulo. ¿Qué dimensiones maximizan el área?
8. Halla la recta tangente a f(x) = x² − 4x + 3 que es paralela a la recta y = 2x + 1.
9. Demuestra que la función f(x) = x + 1/x tiene un mínimo relativo en x = 1 y un máximo relativo en x = −1.
10. Una lata cilíndrica debe tener un volumen de 1 litro (1000 cm³). ¿Qué radio y altura minimizan la superficie total? [V = πr²h, S = 2πr² + 2πrh]
🤔 ¿Sabías que...?Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial de forma independiente a finales del siglo XVII. Newton lo llamó «método de fluxiones» y lo utilizó para describir el movimiento de los planetas. Leibniz introdujo la notación dy/dx que usamos hoy. Su disputa sobre la prioridad del descubrimiento es una de las controversias más célebres de la historia de las matemáticas, aunque hoy se reconoce que ambos llegaron a las mismas ideas por caminos distintos.
📋 Resumen de la lección- La derivada f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h es la pendiente de la recta tangente.
- Si f es derivable en a, entonces es continua en a (pero no al revés).
- Las reglas de derivación (potencia, producto, cociente, cadena) evitan usar la definición.
- f' > 0 → creciente; f' < 0 → decreciente; f' = 0 → punto crítico.
- f'' > 0 → convexa; f'' < 0 → cóncava; f'' = 0 (con cambio de signo) → inflexión.
- Los problemas de optimización se resuelven derivando la función objetivo e igualando a cero.