Temario gratis › Matemáticas I - 1.º Bachillerato

3.2 Fracciones algebraicas

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Introducción

Una fracción algebraica es un cociente de dos polinomios, P(x)/Q(x), con Q(x) distinto del polinomio nulo. Se manejan igual que las fracciones numéricas: se simplifican, se reducen a común denominador y se suman, restan, multiplican y dividen. La clave de todo es saber factorizar los polinomios.

Explicación

Una fracción algebraica solo tiene sentido para los valores de x que no anulan el denominador. Por ejemplo, 1/(x − 3) no está definida en x = 3.

Errores típicos que hay que evitar: olvidar el paréntesis al restar un numerador (el signo menos afecta a todos sus términos) y «tachar» términos que no son factores.

Ejemplo

Ejemplo 1 (simplificar). (x² − 4)/(x² + 4x + 4) = (x − 2)(x + 2)/(x + 2)² = (x − 2)/(x + 2), para x ≠ −2.

Ejemplo 2 (sumar). 1/(x − 1) + 2/(x + 1). El m.c.m. de los denominadores es (x − 1)(x + 1) = x² − 1.

Ejemplo 3 (multiplicar). (x² − 1)/(x² + x) · (x + 3)/(x − 1) = [(x − 1)(x + 1)(x + 3)] / [x(x + 1)(x − 1)] = (x + 3)/x.

Ejercicios

Simplifica la fracción algebraica (x² − 9)/(x² − 6x + 9).

Calcula y simplifica x/(x + 2) − 2/(x − 2).

Material adicional

Introducción a las derivadas

1. Tasa de variación media e instantánea

La tasa de variación media (TVM) de una función f en el intervalo [a, b] es:

TVM = [f(b) − f(a)] / (b − a)

Geométricamente, es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

La tasa de variación instantánea (TVI) en x = a se obtiene tomando el límite cuando el intervalo se reduce a un punto:

TVI = limh→0 [f(a + h) − f(a)] / h

Este límite, si existe, es la derivada de f en x = a, que se denota f'(a).

2. Definición formal de derivada

f'(x) = limh→0 [f(x + h) − f(x)] / h

Notaciones alternativas: f'(x), df/dx, Df(x), ẏ (si la variable es el tiempo).

La función f es derivable en x = a si el límite anterior existe y es finito. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a (pero no al revés: |x| es continua en 0 pero no derivable).

📘 Ejemplo resuelto
Calcula f'(x) usando la definición para f(x) = x².

f'(x) = limh→0 [(x+h)² − x²] / h = limh→0 [x² + 2xh + h² − x²] / h
= limh→0 [2xh + h²] / h = limh→0 (2x + h) = 2x

3. Interpretación geométrica

La derivada f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)). La ecuación de la recta tangente es:

y − f(a) = f'(a) · (x − a)

La recta normal en ese punto es perpendicular a la tangente, por lo que su pendiente es −1/f'(a) (si f'(a) ≠ 0).

📘 Ejemplo resuelto
Halla la ecuación de la recta tangente a f(x) = x³ − 2x en x = 1.

f(1) = 1 − 2 = −1 → punto (1, −1)
f'(x) = 3x² − 2 → f'(1) = 3 − 2 = 1
Recta tangente: y − (−1) = 1 · (x − 1) → y + 1 = x − 1 → y = x − 2

4. Reglas de derivación

Las reglas permiten derivar funciones sin recurrir a la definición:

Función f(x)Derivada f'(x)
k (constante)0
x1
xⁿ (n ∈ ℝ)n · xⁿ⁻¹
eˣeˣ
aˣ (a > 0)aˣ · ln a
ln x1/x
loga x1/(x · ln a)
sen xcos x
cos x−sen x
tan x1/cos²x = sec²x

Reglas algebraicas

• (f ± g)' = f' ± g'
• (k · f)' = k · f'
• Producto: (f · g)' = f' · g + f · g'
• Cociente: (f/g)' = (f' · g − f · g') / g²
• Regla de la cadena: [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

📘 Ejemplo resuelto
Deriva f(x) = (3x² + 1)⁵.

Aplicamos la regla de la cadena:
f'(x) = 5(3x² + 1)⁴ · (3x² + 1)' = 5(3x² + 1)⁴ · 6x = 30x(3x² + 1)⁴
📘 Ejemplo resuelto
Deriva f(x) = eˢᵉⁿ ˣ · cos x.

Usamos la regla del producto y la cadena:
f'(x) = (eˢᵉⁿ ˣ)' · cos x + eˢᵉⁿ ˣ · (cos x)'
= eˢᵉⁿ ˣ · cos x · cos x + eˢᵉⁿ ˣ · (−sen x)
= eˢᵉⁿ ˣ · (cos²x − sen x)
= eˢᵉⁿ ˣ · (cos²x − sen x)

5. Derivación logarítmica

Para funciones de la forma f(x) = g(x)h(x), se toma logaritmo neperiano a ambos lados:

ln f = h(x) · ln g(x)  →  f'/f = h' · ln g + h · g'/g
📘 Ejemplo resuelto
Deriva f(x) = xˣ (x > 0).

ln f = x · ln x
f'/f = 1 · ln x + x · (1/x) = ln x + 1
f'(x) = xˣ · (ln x + 1) = xˣ(ln x + 1)

6. Aplicaciones de la derivada

Monotonía y extremos relativos

• Si f'(x) > 0 en un intervalo → f es creciente en ese intervalo.
• Si f'(x) < 0 → f es decreciente.
• Si f'(a) = 0 o f'(a) no existe → a es un punto crítico.
• Si f' cambia de signo en a: de + a − → máximo relativo; de − a + → mínimo relativo.

Curvatura y puntos de inflexión

• Si f''(x) > 0 → f es convexa (cóncava hacia arriba).
• Si f''(x) < 0 → f es cóncava (cóncava hacia abajo).
• Si f''(a) = 0 y f'' cambia de signo en a → a es un punto de inflexión.

📘 Ejemplo resuelto
Estudia la monotonía y los extremos de f(x) = x³ − 3x + 2.

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1)
f'(x) = 0 → x = −1 o x = 1 (puntos críticos)

Signo de f'(x):
• x < −1: f'(x) > 0 → creciente
• −1 < x < 1: f'(x) < 0 → decreciente
• x > 1: f'(x) > 0 → creciente

En x = −1: f' cambia de + a − → máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 4)
En x = 1: f' cambia de − a + → mínimo relativo en (1, f(1)) = (1, 0)

Optimización

Los problemas de optimización consisten en maximizar o minimizar una magnitud. El procedimiento es:

1. Identificar la variable a optimizar y escribir la función objetivo.
2. Establecer las restricciones del problema.
3. Expresar la función objetivo en términos de una sola variable.
4. Derivar, igualar a cero y resolver.
5. Comprobar que se trata de un máximo o mínimo (signo de la segunda derivada o estudio de la primera).

📘 Ejemplo resuelto
Se quiere cercar un terreno rectangular de 200 m² con la menor cantidad de valla. ¿Cuáles son las dimensiones?

Sea x = ancho, y = largo. Restricción: xy = 200 → y = 200/x.
Perímetro: P(x) = 2x + 2y = 2x + 400/x (x > 0)
P'(x) = 2 − 400/x² = 0 → x² = 200 → x = √200 = 10√2 ≈ 14.14 m
y = 200/(10√2) = 10√2 ≈ 14.14 m
P''(x) = 800/x³ > 0 → es un mínimo. ✓

El terreno óptimo es un cuadrado de lado 10√2 ≈ 14.14 m.
✏️ Ejercicios propuestos
1. Usando la definición de derivada, calcula f'(x) para f(x) = 1/x.

2. Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a f(x) = √x en x = 4.

3. Deriva las siguientes funciones:
  a) f(x) = x² · eˣ
  b) f(x) = ln(x² + 1)
  c) f(x) = sen³(2x)
  d) f(x) = (x − 1)/(x² + 1)

4. Estudia la monotonía y halla los extremos de f(x) = xe−x.

5. Halla los puntos de inflexión de f(x) = x⁴ − 6x² + 5.

6. Deriva f(x) = x√x (x > 0) usando derivación logarítmica.

7. (EVAU) Se dispone de 100 cm de alambre para hacer un rectángulo. ¿Qué dimensiones maximizan el área?

8. Halla la recta tangente a f(x) = x² − 4x + 3 que es paralela a la recta y = 2x + 1.

9. Demuestra que la función f(x) = x + 1/x tiene un mínimo relativo en x = 1 y un máximo relativo en x = −1.

10. Una lata cilíndrica debe tener un volumen de 1 litro (1000 cm³). ¿Qué radio y altura minimizan la superficie total? [V = πr²h, S = 2πr² + 2πrh]
🤔 ¿Sabías que...?
Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaron el cálculo diferencial de forma independiente a finales del siglo XVII. Newton lo llamó «método de fluxiones» y lo utilizó para describir el movimiento de los planetas. Leibniz introdujo la notación dy/dx que usamos hoy. Su disputa sobre la prioridad del descubrimiento es una de las controversias más célebres de la historia de las matemáticas, aunque hoy se reconoce que ambos llegaron a las mismas ideas por caminos distintos.
📋 Resumen de la lección
  • La derivada f'(a) = limh→0 [f(a+h) − f(a)] / h es la pendiente de la recta tangente.
  • Si f es derivable en a, entonces es continua en a (pero no al revés).
  • Las reglas de derivación (potencia, producto, cociente, cadena) evitan usar la definición.
  • f' > 0 → creciente; f' < 0 → decreciente; f' = 0 → punto crítico.
  • f'' > 0 → convexa; f'' < 0 → cóncava; f'' = 0 (con cambio de signo) → inflexión.
  • Los problemas de optimización se resuelven derivando la función objetivo e igualando a cero.
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