Temario gratis › Matemáticas I - 1.º Bachillerato

3.1 Operaciones y factorización

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Introducción

Los polinomios son la herramienta básica del álgebra de Bachillerato: aparecen al resolver ecuaciones, al simplificar fracciones algebraicas y al estudiar funciones. En esta lección repasamos cómo se opera con ellos (suma, resta, producto y división) y, sobre todo, cómo se factorizan, es decir, cómo se escriben como producto de polinomios más sencillos.

Explicación

Un polinomio en x es una expresión del tipo P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. El mayor exponente con coeficiente no nulo es su grado.

Suma y resta: se agrupan los términos semejantes (los del mismo grado).
Producto: se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro y se reducen los semejantes. El grado del producto es la suma de los grados.
División: al dividir P(x) entre Q(x) se obtienen un cociente C(x) y un resto R(x) con P(x) = Q(x)·C(x) + R(x) y grado de R menor que el de Q. Cuando el divisor es de la forma x − a se usa la regla de Ruffini.

Teorema del resto: el resto de dividir P(x) entre x − a es P(a). Por tanto, a es raíz de P (P(a) = 0) si y solo si x − a es un factor de P(x) (teorema del factor).

Si P tiene coeficientes enteros, sus posibles raíces enteras son los divisores del término independiente. Para factorizar un polinomio se sigue este orden:

Sacar factor común si es posible (por ejemplo, x³ − 4x = x(x² − 4)).
Reconocer identidades notables: a² − b² = (a + b)(a − b); a² ± 2ab + b² = (a ± b)².
Buscar raíces enteras con Ruffini entre los divisores del término independiente.
Para el factor de segundo grado que quede, resolver ax² + bx + c = 0: si tiene raíces x₁ y x₂, entonces ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Si no tiene raíces reales, es irreducible.

Un polinomio está completamente factorizado cuando todos sus factores son de grado 1 o de grado 2 irreducibles.

Ejemplo

Ejemplo 1 (producto). (x² − 3x + 1)(2x + 1) = 2x³ + x² − 6x² − 3x + 2x + 1 = 2x³ − 5x² − x + 1.

Ejemplo 2 (factorización). Factoriza P(x) = x³ + x² − 4x − 4.

Posibles raíces enteras: divisores de −4, es decir, ±1, ±2, ±4.
P(−1) = −1 + 1 + 4 − 4 = 0, luego x + 1 es factor. Por Ruffini: P(x) = (x + 1)(x² − 4).
x² − 4 es una diferencia de cuadrados: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Resultado: P(x) = (x + 1)(x − 2)(x + 2). Sus raíces son −1, 2 y −2.

Ejercicios

Factoriza el polinomio P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6.

¿Cuál es el resto de dividir P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5 entre x − 2?

Material adicional

Funciones: dominio, continuidad e introducción a los límites

1. Concepto de función

Una función f: A → B es una correspondencia que asigna a cada elemento x del conjunto A (dominio) un único elemento y = f(x) del conjunto B (codominio). El conjunto de todos los valores que f toma efectivamente se llama rango o imagen de f: Im(f) = {f(x) : x ∈ Dom(f)}.

2. Dominio de funciones

El dominio de una función viene determinado por las restricciones algebraicas de la expresión que la define. Las restricciones más habituales son:

Tipo de función	Restricción	Ejemplo
Polinómica	Ninguna (Dom = ℝ)	f(x) = 3x² − x + 1
Racional	Denominador ≠ 0	f(x) = 1/(x − 2) → Dom = ℝ \ {2}
Irracional (raíz par)	Radicando ≥ 0	f(x) = √(x − 1) → Dom = [1, +∞)
Logarítmica	Argumento > 0	f(x) = ln(x + 3) → Dom = (−3, +∞)
Exponencial	Ninguna (Dom = ℝ)	f(x) = 2^x

📘 Ejemplo resuelto

Halla el dominio de f(x) = √(x + 2) / (x² − 4).

Restricciones:
1. Radicando ≥ 0: x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2
2. Denominador ≠ 0: x² − 4 ≠ 0 → x ≠ ±2

Combinando: x ≥ −2 y x ≠ 2 (x = −2 anula también el denominador porque (−2)² − 4 = 0).
Dom(f) = (−2, 2) ∪ (2, +∞)

3. Propiedades de las funciones

Simetría

• Par: f(−x) = f(x) para todo x. Gráfica simétrica respecto del eje Y.
• Impar: f(−x) = −f(x) para todo x. Gráfica simétrica respecto del origen.

Monotonía

• Creciente en [a, b]: si x₁ < x₂ entonces f(x₁) < f(x₂).
• Decreciente en [a, b]: si x₁ < x₂ entonces f(x₁) > f(x₂).

Acotación y extremos

f está acotada superiormente si existe M tal que f(x) ≤ M para todo x del dominio. Está acotada inferiormente si existe m tal que f(x) ≥ m. Un máximo relativo es un punto donde f(x₀) ≥ f(x) para x cercanos; un mínimo relativo, lo contrario.

Periodicidad

f es periódica con periodo T > 0 si f(x + T) = f(x) para todo x. Ejemplo: sen x tiene periodo 2π.

4. Funciones elementales

Repasamos las familias de funciones más importantes:

Familia	Forma general	Características
Lineal	f(x) = mx + n	Recta con pendiente m
Cuadrática	f(x) = ax² + bx + c	Parábola, vértice en (−b/2a, f(−b/2a))
Potencial	f(x) = xⁿ	Par si n es par, impar si n es impar
Raíz	f(x) = ⁿ√x	Inversa de la potencia
Exponencial	f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1)	Creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1
Logarítmica	f(x) = log_a x	Inversa de la exponencial
Trigonométrica	sen, cos, tan...	Periódicas
Valor absoluto	f(x) = \|g(x)\|	Se refleja la parte negativa

5. Composición e inversión de funciones

La composición (f ∘ g)(x) = f(g(x)) aplica primero g y luego f. En general, f ∘ g ≠ g ∘ f.

La función inversa f⁻¹ cumple f⁻¹(f(x)) = x y f(f⁻¹(y)) = y. Para hallarla: se despeja x en función de y en la ecuación y = f(x), y luego se intercambian x e y. La gráfica de f⁻¹ es la simétrica de la de f respecto de la bisectriz y = x.

📘 Ejemplo resuelto

Halla la inversa de f(x) = (2x + 1) / (x − 3).

Sea y = (2x + 1) / (x − 3). Despejamos x:
y(x − 3) = 2x + 1 → yx − 3y = 2x + 1 → yx − 2x = 3y + 1 → x(y − 2) = 3y + 1
x = (3y + 1) / (y − 2)

Intercambiamos: f⁻¹(x) = (3x + 1) / (x − 2)

6. Introducción a los límites

El límite de f(x) cuando x tiende a a es el valor al que se aproximan las imágenes f(x) cuando x se acerca a a (sin llegar a valer a necesariamente):

lim_x→a f(x) = L ⟺ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⟹ |f(x) − L| < ε

El límite existe si y solo si los límites laterales coinciden:

lim_x→a f(x) = L ⟺ lim_x→a⁻ f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L

Propiedades de los límites

Si lim f(x) = L y lim g(x) = M (cuando x → a):

• lim [f(x) ± g(x)] = L ± M
• lim [f(x) · g(x)] = L · M
• lim [f(x) / g(x)] = L / M (si M ≠ 0)
• lim [f(x)]ⁿ = Lⁿ

Indeterminaciones

Las formas indeterminadas más frecuentes son:

0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰

📘 Ejemplo resuelto

Calcula lim_x→2 (x² − 4) / (x − 2).

Sustitución directa: 0/0 → indeterminación.
Factorizamos: (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 (x ≠ 2)
lim_x→2 (x + 2) = 4

7. Continuidad

Una función f es continua en x = a si se cumplen simultáneamente:

1. f(a) está definida.
2. lim_x→a f(x) existe.
3. lim_x→a f(x) = f(a).

Si falla alguna condición, f es discontinua en x = a. Los tipos de discontinuidad son:

Tipo	Descripción	Ejemplo
Evitable	El límite existe pero ≠ f(a) o f(a) no está definida	f(x) = (x²−1)/(x−1) en x = 1
De salto finito	Los límites laterales existen pero son distintos	f(x) = parte entera de x
De salto infinito	Algún límite lateral es ±∞ (asíntota vertical)	f(x) = 1/x en x = 0

📐 Teorema

Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0 (tienen distinto signo), entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

📘 Ejemplo resuelto

Demuestra que la ecuación x³ − x − 1 = 0 tiene al menos una raíz en (1, 2).

Sea f(x) = x³ − x − 1. f es un polinomio, luego es continua en ℝ.
f(1) = 1 − 1 − 1 = −1 < 0
f(2) = 8 − 2 − 1 = 5 > 0

Como f(1) < 0 y f(2) > 0, por el teorema de Bolzano, existe c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0. ✓

✏️ Ejercicios propuestos

1. Halla el dominio de: a) f(x) = √(9 − x²);  b) f(x) = ln(x² − 4);  c) f(x) = 1/(√(x) − 2).

2. Estudia la paridad de: a) f(x) = x³ − x;  b) f(x) = x⁴ + x²;  c) f(x) = x² + x.

3. Halla (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x) para f(x) = 2x + 1 y g(x) = x².

4. Calcula la inversa de f(x) = (x + 1)/(x − 1) y verifica que f(f⁻¹(x)) = x.

5. Calcula los siguientes límites:
  a) lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3)
  b) lim_x→0 (√(x + 4) − 2)/x
  c) lim_x→∞ (3x² − 2x + 1)/(x² + 5)

6. Estudia la continuidad de f(x) = {x² si x ≤ 1; 2x − 1 si x > 1}.

7. Aplica el teorema de Bolzano para demostrar que eˣ = 2 − x tiene al menos una solución en (0, 1).

8. Halla las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) de f(x) = (2x² + 3x − 1)/(x + 2).

9. (EVAU) Determina los valores de a y b para que f(x) = {ax + b si x < 1; x² si x ≥ 1} sea continua y derivable en x = 1.

10. Calcula lim_x→∞ (1 + 3/x)^2x. [Pista: tipo 1^∞]

🤔 ¿Sabías que...?

El concepto de límite, tal como lo conocemos hoy, fue formalizado por Karl Weierstrass en el siglo XIX con la definición ε-δ. Antes de Weierstrass, Newton y Leibniz habían utilizado ideas intuitivas de «cantidades infinitamente pequeñas» (infinitesimales) para desarrollar el cálculo, pero su falta de rigor generó paradojas. La definición precisa de límite resolvió estos problemas y estableció los fundamentos del análisis matemático.

📋 Resumen de la lección

El dominio de una función viene dado por las restricciones algebraicas de su expresión.
Las funciones pueden ser pares, impares, crecientes, decrecientes, periódicas o acotadas.
La composición (f ∘ g)(x) = f(g(x)); la inversa f⁻¹ «deshace» la función.
lim_x→a f(x) = L si f(x) se aproxima a L cuando x tiende a a.
Una función es continua en a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden.
El teorema de Bolzano garantiza la existencia de raíces de funciones continuas que cambian de signo.

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