Funciones: dominio, continuidad e introducción a los límites
1. Concepto de función
Una función f: A → B es una correspondencia que asigna a cada elemento x del conjunto A (dominio) un único elemento y = f(x) del conjunto B (codominio). El conjunto de todos los valores que f toma efectivamente se llama rango o imagen de f: Im(f) = {f(x) : x ∈ Dom(f)}.
2. Dominio de funciones
El dominio de una función viene determinado por las restricciones algebraicas de la expresión que la define. Las restricciones más habituales son:
| Tipo de función | Restricción | Ejemplo |
|---|
| Polinómica | Ninguna (Dom = ℝ) | f(x) = 3x² − x + 1 |
| Racional | Denominador ≠ 0 | f(x) = 1/(x − 2) → Dom = ℝ \ {2} |
| Irracional (raíz par) | Radicando ≥ 0 | f(x) = √(x − 1) → Dom = [1, +∞) |
| Logarítmica | Argumento > 0 | f(x) = ln(x + 3) → Dom = (−3, +∞) |
| Exponencial | Ninguna (Dom = ℝ) | f(x) = 2x |
📘 Ejemplo resueltoHalla el dominio de f(x) = √(x + 2) / (x² − 4).
Restricciones:
1. Radicando ≥ 0: x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2
2. Denominador ≠ 0: x² − 4 ≠ 0 → x ≠ ±2
Combinando: x ≥ −2 y x ≠ 2 (x = −2 anula también el denominador porque (−2)² − 4 = 0).
Dom(f) = (−2, 2) ∪ (2, +∞)
3. Propiedades de las funciones
Simetría
• Par: f(−x) = f(x) para todo x. Gráfica simétrica respecto del eje Y.
• Impar: f(−x) = −f(x) para todo x. Gráfica simétrica respecto del origen.
Monotonía
• Creciente en [a, b]: si x₁ < x₂ entonces f(x₁) < f(x₂).
• Decreciente en [a, b]: si x₁ < x₂ entonces f(x₁) > f(x₂).
Acotación y extremos
f está acotada superiormente si existe M tal que f(x) ≤ M para todo x del dominio. Está acotada inferiormente si existe m tal que f(x) ≥ m. Un máximo relativo es un punto donde f(x₀) ≥ f(x) para x cercanos; un mínimo relativo, lo contrario.
Periodicidad
f es periódica con periodo T > 0 si f(x + T) = f(x) para todo x. Ejemplo: sen x tiene periodo 2π.
4. Funciones elementales
Repasamos las familias de funciones más importantes:
| Familia | Forma general | Características |
|---|
| Lineal | f(x) = mx + n | Recta con pendiente m |
| Cuadrática | f(x) = ax² + bx + c | Parábola, vértice en (−b/2a, f(−b/2a)) |
| Potencial | f(x) = xⁿ | Par si n es par, impar si n es impar |
| Raíz | f(x) = ⁿ√x | Inversa de la potencia |
| Exponencial | f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1) | Creciente si a > 1, decreciente si 0 < a < 1 |
| Logarítmica | f(x) = loga x | Inversa de la exponencial |
| Trigonométrica | sen, cos, tan... | Periódicas |
| Valor absoluto | f(x) = |g(x)| | Se refleja la parte negativa |
5. Composición e inversión de funciones
La composición (f ∘ g)(x) = f(g(x)) aplica primero g y luego f. En general, f ∘ g ≠ g ∘ f.
La función inversa f⁻¹ cumple f⁻¹(f(x)) = x y f(f⁻¹(y)) = y. Para hallarla: se despeja x en función de y en la ecuación y = f(x), y luego se intercambian x e y. La gráfica de f⁻¹ es la simétrica de la de f respecto de la bisectriz y = x.
📘 Ejemplo resueltoHalla la inversa de f(x) = (2x + 1) / (x − 3).
Sea y = (2x + 1) / (x − 3). Despejamos x:
y(x − 3) = 2x + 1 → yx − 3y = 2x + 1 → yx − 2x = 3y + 1 → x(y − 2) = 3y + 1
x = (3y + 1) / (y − 2)
Intercambiamos: f⁻¹(x) = (3x + 1) / (x − 2)
6. Introducción a los límites
El límite de f(x) cuando x tiende a a es el valor al que se aproximan las imágenes f(x) cuando x se acerca a a (sin llegar a valer a necesariamente):
limx→a f(x) = L ⟺ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⟹ |f(x) − L| < ε
El límite existe si y solo si los límites laterales coinciden:
limx→a f(x) = L ⟺ limx→a⁻ f(x) = limx→a⁺ f(x) = L
Propiedades de los límites
Si lim f(x) = L y lim g(x) = M (cuando x → a):
• lim [f(x) ± g(x)] = L ± M
• lim [f(x) · g(x)] = L · M
• lim [f(x) / g(x)] = L / M (si M ≠ 0)
• lim [f(x)]ⁿ = Lⁿ
Indeterminaciones
Las formas indeterminadas más frecuentes son:
0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞, 0⁰, ∞⁰
📘 Ejemplo resueltoCalcula limx→2 (x² − 4) / (x − 2).
Sustitución directa: 0/0 → indeterminación.
Factorizamos: (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 (x ≠ 2)
limx→2 (x + 2) = 4
7. Continuidad
Una función f es continua en x = a si se cumplen simultáneamente:
1. f(a) está definida.
2. limx→a f(x) existe.
3. limx→a f(x) = f(a).
Si falla alguna condición, f es discontinua en x = a. Los tipos de discontinuidad son:
| Tipo | Descripción | Ejemplo |
|---|
| Evitable | El límite existe pero ≠ f(a) o f(a) no está definida | f(x) = (x²−1)/(x−1) en x = 1 |
| De salto finito | Los límites laterales existen pero son distintos | f(x) = parte entera de x |
| De salto infinito | Algún límite lateral es ±∞ (asíntota vertical) | f(x) = 1/x en x = 0 |
📐 TeoremaTeorema de Bolzano: Si f es continua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0 (tienen distinto signo), entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
📘 Ejemplo resueltoDemuestra que la ecuación x³ − x − 1 = 0 tiene al menos una raíz en (1, 2).
Sea f(x) = x³ − x − 1. f es un polinomio, luego es continua en ℝ.
f(1) = 1 − 1 − 1 = −1 < 0
f(2) = 8 − 2 − 1 = 5 > 0
Como f(1) < 0 y f(2) > 0, por el teorema de Bolzano, existe c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0. ✓
✏️ Ejercicios propuestos1. Halla el dominio de: a) f(x) = √(9 − x²); b) f(x) = ln(x² − 4); c) f(x) = 1/(√(x) − 2).
2. Estudia la paridad de: a) f(x) = x³ − x; b) f(x) = x⁴ + x²; c) f(x) = x² + x.
3. Halla (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x) para f(x) = 2x + 1 y g(x) = x².
4. Calcula la inversa de f(x) = (x + 1)/(x − 1) y verifica que f(f⁻¹(x)) = x.
5. Calcula los siguientes límites:
a) limx→3 (x² − 9)/(x − 3)
b) limx→0 (√(x + 4) − 2)/x
c) limx→∞ (3x² − 2x + 1)/(x² + 5)
6. Estudia la continuidad de f(x) = {x² si x ≤ 1; 2x − 1 si x > 1}.
7. Aplica el teorema de Bolzano para demostrar que eˣ = 2 − x tiene al menos una solución en (0, 1).
8. Halla las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) de f(x) = (2x² + 3x − 1)/(x + 2).
9. (EVAU) Determina los valores de a y b para que f(x) = {ax + b si x < 1; x² si x ≥ 1} sea continua y derivable en x = 1.
10. Calcula limx→∞ (1 + 3/x)2x. [Pista: tipo 1∞]
🤔 ¿Sabías que...?El concepto de límite, tal como lo conocemos hoy, fue formalizado por Karl Weierstrass en el siglo XIX con la definición ε-δ. Antes de Weierstrass, Newton y Leibniz habían utilizado ideas intuitivas de «cantidades infinitamente pequeñas» (infinitesimales) para desarrollar el cálculo, pero su falta de rigor generó paradojas. La definición precisa de límite resolvió estos problemas y estableció los fundamentos del análisis matemático.
📋 Resumen de la lección- El dominio de una función viene dado por las restricciones algebraicas de su expresión.
- Las funciones pueden ser pares, impares, crecientes, decrecientes, periódicas o acotadas.
- La composición (f ∘ g)(x) = f(g(x)); la inversa f⁻¹ «deshace» la función.
- limx→a f(x) = L si f(x) se aproxima a L cuando x tiende a a.
- Una función es continua en a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden.
- El teorema de Bolzano garantiza la existencia de raíces de funciones continuas que cambian de signo.