Geometría analítica en el plano: vectores y rectas
1. Vectores en el plano
Un vector libre en el plano es una clase de equivalencia de segmentos orientados con la misma dirección, sentido y módulo. Se representa como v⃗ = (v₁, v₂) en la base canónica {e⃗₁, e⃗₂}, donde e⃗₁ = (1, 0) y e⃗₂ = (0, 1).
Dado un segmento orientado de origen A = (a₁, a₂) a extremo B = (b₁, b₂), el vector AB⃗ es:
AB⃗ = B − A = (b₁ − a₁, b₂ − a₂)
Operaciones con vectores
Sean u⃗ = (u₁, u₂), v⃗ = (v₁, v₂) y λ ∈ ℝ:
• Suma: u⃗ + v⃗ = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)
• Producto por escalar: λu⃗ = (λu₁, λu₂)
• Módulo: |u⃗| = √(u₁² + u₂²)
• Vector unitario: û = u⃗ / |u⃗|
Producto escalar
El producto escalar de u⃗ y v⃗ se puede calcular de dos formas:
u⃗ · v⃗ = u₁v₁ + u₂v₂ = |u⃗| · |v⃗| · cos θ
donde θ es el ángulo que forman los vectores. Del producto escalar se deduce:
cos θ = (u⃗ · v⃗) / (|u⃗| · |v⃗|)
Perpendicularidad: u⃗ ⊥ v⃗ si y solo si u⃗ · v⃗ = 0.
📘 Ejemplo resueltoDados u⃗ = (3, 4) y v⃗ = (−2, 1), calcula u⃗ · v⃗, el ángulo θ y comprueba si son perpendiculares.
u⃗ · v⃗ = 3·(−2) + 4·1 = −6 + 4 = −2 ≠ 0 → No son perpendiculares.
|u⃗| = √(9 + 16) = 5
|v⃗| = √(4 + 1) = √5
cos θ = −2 / (5√5) = −2/(5√5) ≈ −0.1789
θ = arccos(−0.1789) ≈ 100.3°
Combinación lineal y dependencia lineal
Dos vectores u⃗ y v⃗ son linealmente dependientes (LD) si uno es múltiplo del otro, es decir, si existe λ ∈ ℝ tal que u⃗ = λv⃗. Equivalentemente, son LD si su determinante es nulo:
det(u⃗, v⃗) = u₁v₂ − u₂v₁ = 0 ⟺ u⃗ y v⃗ son LD
Dos vectores linealmente independientes (LI) forman una base del plano, y cualquier vector del plano se puede expresar como combinación lineal de ellos.
2. Puntos y rectas en el plano
Punto medio y distancia
Punto medio de AB: M = ((a₁+b₁)/2, (a₂+b₂)/2)
Distancia: d(A, B) = |AB⃗| = √[(b₁−a₁)² + (b₂−a₂)²]
Ecuaciones de la recta
Una recta r queda determinada por un punto P₀ = (x₀, y₀) y un vector director d⃗ = (d₁, d₂):
Ecuación vectorial: (x, y) = (x₀, y₀) + t(d₁, d₂), t ∈ ℝ
Ecuaciones paramétricas: x = x₀ + d₁t; y = y₀ + d₂t
Ecuación continua: (x − x₀)/d₁ = (y − y₀)/d₂ (si d₁, d₂ ≠ 0)
Ecuación implícita (general): Ax + By + C = 0
Ecuación explícita: y = mx + n (m = pendiente, n = ordenada en el origen)
Relación: el vector director de Ax + By + C = 0 es d⃗ = (−B, A) y su vector normal es n⃗ = (A, B). La pendiente es m = −A/B (si B ≠ 0).
📘 Ejemplo resueltoHalla la ecuación general de la recta que pasa por A = (1, 3) y B = (4, −1).
Vector director: d⃗ = AB⃗ = (4−1, −1−3) = (3, −4)
Ecuación paramétrica: x = 1 + 3t, y = 3 − 4t
Eliminamos t: t = (x−1)/3 = (y−3)/(−4)
−4(x − 1) = 3(y − 3) → −4x + 4 = 3y − 9
4x + 3y − 13 = 0
3. Posiciones relativas de dos rectas
Dadas r: A₁x + B₁y + C₁ = 0 y s: A₂x + B₂y + C₂ = 0:
| Condición | Posición |
|---|
| A₁/A₂ ≠ B₁/B₂ | Secantes (un punto de corte) |
| A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂ | Paralelas (sin puntos comunes) |
| A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ | Coincidentes (infinitos puntos comunes) |
4. Distancias
Distancia de un punto a una recta
d(P₀, r) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
donde r: Ax + By + C = 0 y P₀ = (x₀, y₀).
Distancia entre rectas paralelas
Si r y s son paralelas, se toma un punto cualquiera de una de ellas y se calcula la distancia a la otra.
📘 Ejemplo resueltoCalcula la distancia del punto P = (2, −1) a la recta r: 3x − 4y + 7 = 0.
d = |3·2 − 4·(−1) + 7| / √(9 + 16) = |6 + 4 + 7| / √25 = 17 / 5 = 3.4
5. Ángulo entre dos rectas
El ángulo agudo α que forman dos rectas con vectores directores d⃗₁ y d⃗₂ es:
cos α = |d⃗₁ · d⃗₂| / (|d⃗₁| · |d⃗₂|)
O equivalentemente, si m₁ y m₂ son las pendientes:
tan α = |m₁ − m₂| / |1 + m₁ · m₂|
6. Mediatriz y bisectriz
Mediatriz de un segmento AB: recta perpendicular a AB que pasa por su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de A y B.
Bisectriz del ángulo formado por dos rectas r y s: lugar geométrico de los puntos equidistantes de ambas rectas. Se obtiene igualando las distancias: d(P, r) = d(P, s).
📘 Ejemplo resueltoHalla la mediatriz del segmento AB con A = (1, 2) y B = (5, 6).
Punto medio: M = ((1+5)/2, (2+6)/2) = (3, 4)
Vector AB⃗ = (4, 4). La mediatriz es perpendicular a AB⃗, así que su vector director es d⃗ = (4, −4) o simplificado (1, −1).
Ecuación: pasa por (3, 4) con dirección (1, −1):
(x − 3)/1 = (y − 4)/(−1) → −(x − 3) = y − 4 → −x + 3 = y − 4
x + y − 7 = 0
✏️ Ejercicios propuestos1. Dados A = (−1, 3), B = (4, 1) y C = (2, 5), halla: a) los vectores AB⃗ y AC⃗, b) |AB⃗|, c) el ángulo entre AB⃗ y AC⃗.
2. Comprueba que u⃗ = (2, −3) y v⃗ = (6, −9) son linealmente dependientes.
3. Halla la ecuación general de la recta que pasa por (2, −1) y es paralela a 3x − y + 5 = 0.
4. Determina la posición relativa de r: 2x − y + 3 = 0 y s: 4x − 2y + 1 = 0.
5. Calcula la distancia del origen al punto de intersección de las rectas x + y = 4 y 2x − y = 2.
6. Halla la recta perpendicular a 4x + 3y − 2 = 0 que pasa por (1, −2).
7. Calcula el área del triángulo de vértices A = (0, 0), B = (6, 0), C = (3, 4) usando el producto vectorial.
8. (EVAU) Halla el simétrico del punto P = (3, 1) respecto de la recta r: x − y + 2 = 0.
9. Determina k para que las rectas kx + 2y − 1 = 0 y 3x − y + 4 = 0 sean perpendiculares.
10. Halla las ecuaciones de las bisectrices de las rectas 3x − 4y + 1 = 0 y 5x + 12y − 3 = 0.
🤔 ¿Sabías que...?René Descartes (1596-1650) introdujo las coordenadas cartesianas en su obra «La Géométrie» (1637), unificando la geometría y el álgebra. Gracias a este enfoque, problemas geométricos que los griegos resolvían con regla y compás pudieron abordarse con ecuaciones. Pierre de Fermat, contemporáneo suyo, llegó independientemente a ideas similares, pero fue Descartes quien las sistematizó y publicó.
📋 Resumen de la lección- Un vector del plano v⃗ = (v₁, v₂) tiene módulo |v⃗| = √(v₁² + v₂²).
- El producto escalar u⃗ · v⃗ = |u⃗||v⃗| cos θ permite calcular ángulos y detectar perpendicularidad.
- La recta se puede expresar en forma vectorial, paramétrica, continua, general o explícita.
- La distancia punto-recta se calcula con d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
- Dos rectas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes según la proporcionalidad de sus coeficientes.
- La mediatriz es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio.