Temario gratis › Matemáticas I - 1.º Bachillerato

2.2 Logaritmos: definición, propiedades y ecuaciones

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Introducción

El logaritmo es la operación inversa de la potencia: responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener este número?». En esta lección verás su definición, sus propiedades y cómo resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Explicación

Definición. Si a > 0, a ≠ 1 y x > 0: loga x = y ⟺ ay = x. Por ejemplo, log2 32 = 5 porque 25 = 32, y log3(1/9) = −2 porque 3−2 = 1/9.

Solo existen logaritmos de números positivos. Los más usados son el decimal (log x, base 10) y el neperiano (ln x, base e ≈ 2,718).

Consecuencias directas: loga 1 = 0; loga a = 1; loga(an) = n.

Propiedades (x, y > 0):

Atención: log(x + y) ≠ log x + log y, y log x / log y ≠ log(x / y). Con la calculadora, el cambio de base permite obtener cualquier logaritmo: log5 20 = ln 20 / ln 5 ≈ 1,861.

Ecuaciones logarítmicas. Se usan las propiedades para dejar un solo logaritmo en cada miembro (o un logaritmo igual a un número) y se aplica la definición. Al final es obligatorio comprobar que las soluciones hacen positivos todos los argumentos; las que no lo cumplen se descartan.

Ecuaciones exponenciales. Si se pueden escribir ambos miembros con la misma base, se igualan los exponentes (2x+1 = 8 = 23 → x = 2). Si no, se toman logaritmos: 2x = 7 → x = ln 7 / ln 2 ≈ 2,807. Cuando aparecen a2x y ax, se hace el cambio t = ax.

Ejemplo

Resuelve log2(x + 2) + log2(x − 2) = 5.

Paso 1. Condición de existencia: x + 2 > 0 y x − 2 > 0, es decir, x > 2.

Paso 2. Propiedad del producto: log2[(x + 2)(x − 2)] = 5.

Paso 3. Definición: (x + 2)(x − 2) = 25 → x2 − 4 = 32 → x2 = 36 → x = 6 o x = −6.

Paso 4. Comprobación: x = −6 no cumple x > 2 y se descarta. Con x = 6: log2 8 + log2 4 = 3 + 2 = 5. Solución: x = 6.

Ejercicios

¿Cuánto vale log3 81 − log2(1/4)?

¿Cuál es la solución de log x + log(x − 3) = 1 (logaritmos decimales)?

Material adicional

Geometría analítica en el plano: vectores y rectas

1. Vectores en el plano

Un vector libre en el plano es una clase de equivalencia de segmentos orientados con la misma dirección, sentido y módulo. Se representa como v⃗ = (v₁, v₂) en la base canónica {e⃗₁, e⃗₂}, donde e⃗₁ = (1, 0) y e⃗₂ = (0, 1).

Dado un segmento orientado de origen A = (a₁, a₂) a extremo B = (b₁, b₂), el vector AB⃗ es:

AB⃗ = B − A = (b₁ − a₁, b₂ − a₂)

Operaciones con vectores

Sean u⃗ = (u₁, u₂), v⃗ = (v₁, v₂) y λ ∈ ℝ:

• Suma: u⃗ + v⃗ = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)
• Producto por escalar: λu⃗ = (λu₁, λu₂)
• Módulo: |u⃗| = √(u₁² + u₂²)
• Vector unitario: û = u⃗ / |u⃗|

Producto escalar

El producto escalar de u⃗ y v⃗ se puede calcular de dos formas:

u⃗ · v⃗ = u₁v₁ + u₂v₂ = |u⃗| · |v⃗| · cos θ

donde θ es el ángulo que forman los vectores. Del producto escalar se deduce:

cos θ = (u⃗ · v⃗) / (|u⃗| · |v⃗|)

Perpendicularidad: u⃗ ⊥ v⃗ si y solo si u⃗ · v⃗ = 0.

📘 Ejemplo resuelto
Dados u⃗ = (3, 4) y v⃗ = (−2, 1), calcula u⃗ · v⃗, el ángulo θ y comprueba si son perpendiculares.

u⃗ · v⃗ = 3·(−2) + 4·1 = −6 + 4 = −2 ≠ 0 → No son perpendiculares.
|u⃗| = √(9 + 16) = 5
|v⃗| = √(4 + 1) = √5
cos θ = −2 / (5√5) = −2/(5√5) ≈ −0.1789
θ = arccos(−0.1789) ≈ 100.3°

Combinación lineal y dependencia lineal

Dos vectores u⃗ y v⃗ son linealmente dependientes (LD) si uno es múltiplo del otro, es decir, si existe λ ∈ ℝ tal que u⃗ = λv⃗. Equivalentemente, son LD si su determinante es nulo:

det(u⃗, v⃗) = u₁v₂ − u₂v₁ = 0  ⟺  u⃗ y v⃗ son LD

Dos vectores linealmente independientes (LI) forman una base del plano, y cualquier vector del plano se puede expresar como combinación lineal de ellos.

2. Puntos y rectas en el plano

Punto medio y distancia

Punto medio de AB: M = ((a₁+b₁)/2, (a₂+b₂)/2)
Distancia: d(A, B) = |AB⃗| = √[(b₁−a₁)² + (b₂−a₂)²]

Ecuaciones de la recta

Una recta r queda determinada por un punto P₀ = (x₀, y₀) y un vector director d⃗ = (d₁, d₂):

Ecuación vectorial: (x, y) = (x₀, y₀) + t(d₁, d₂), t ∈ ℝ

Ecuaciones paramétricas: x = x₀ + d₁t;  y = y₀ + d₂t

Ecuación continua: (x − x₀)/d₁ = (y − y₀)/d₂  (si d₁, d₂ ≠ 0)

Ecuación implícita (general): Ax + By + C = 0

Ecuación explícita: y = mx + n  (m = pendiente, n = ordenada en el origen)

Relación: el vector director de Ax + By + C = 0 es d⃗ = (−B, A) y su vector normal es n⃗ = (A, B). La pendiente es m = −A/B (si B ≠ 0).

📘 Ejemplo resuelto
Halla la ecuación general de la recta que pasa por A = (1, 3) y B = (4, −1).

Vector director: d⃗ = AB⃗ = (4−1, −1−3) = (3, −4)
Ecuación paramétrica: x = 1 + 3t, y = 3 − 4t
Eliminamos t: t = (x−1)/3 = (y−3)/(−4)
−4(x − 1) = 3(y − 3) → −4x + 4 = 3y − 9
4x + 3y − 13 = 0

3. Posiciones relativas de dos rectas

Dadas r: A₁x + B₁y + C₁ = 0 y s: A₂x + B₂y + C₂ = 0:

CondiciónPosición
A₁/A₂ ≠ B₁/B₂Secantes (un punto de corte)
A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂Paralelas (sin puntos comunes)
A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂Coincidentes (infinitos puntos comunes)

4. Distancias

Distancia de un punto a una recta

d(P₀, r) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

donde r: Ax + By + C = 0 y P₀ = (x₀, y₀).

Distancia entre rectas paralelas

Si r y s son paralelas, se toma un punto cualquiera de una de ellas y se calcula la distancia a la otra.

📘 Ejemplo resuelto
Calcula la distancia del punto P = (2, −1) a la recta r: 3x − 4y + 7 = 0.

d = |3·2 − 4·(−1) + 7| / √(9 + 16) = |6 + 4 + 7| / √25 = 17 / 5 = 3.4

5. Ángulo entre dos rectas

El ángulo agudo α que forman dos rectas con vectores directores d⃗₁ y d⃗₂ es:

cos α = |d⃗₁ · d⃗₂| / (|d⃗₁| · |d⃗₂|)

O equivalentemente, si m₁ y m₂ son las pendientes:

tan α = |m₁ − m₂| / |1 + m₁ · m₂|

6. Mediatriz y bisectriz

Mediatriz de un segmento AB: recta perpendicular a AB que pasa por su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de A y B.

Bisectriz del ángulo formado por dos rectas r y s: lugar geométrico de los puntos equidistantes de ambas rectas. Se obtiene igualando las distancias: d(P, r) = d(P, s).

📘 Ejemplo resuelto
Halla la mediatriz del segmento AB con A = (1, 2) y B = (5, 6).

Punto medio: M = ((1+5)/2, (2+6)/2) = (3, 4)
Vector AB⃗ = (4, 4). La mediatriz es perpendicular a AB⃗, así que su vector director es d⃗ = (4, −4) o simplificado (1, −1).
Ecuación: pasa por (3, 4) con dirección (1, −1):
(x − 3)/1 = (y − 4)/(−1) → −(x − 3) = y − 4 → −x + 3 = y − 4
x + y − 7 = 0
✏️ Ejercicios propuestos
1. Dados A = (−1, 3), B = (4, 1) y C = (2, 5), halla: a) los vectores AB⃗ y AC⃗, b) |AB⃗|, c) el ángulo entre AB⃗ y AC⃗.

2. Comprueba que u⃗ = (2, −3) y v⃗ = (6, −9) son linealmente dependientes.

3. Halla la ecuación general de la recta que pasa por (2, −1) y es paralela a 3x − y + 5 = 0.

4. Determina la posición relativa de r: 2x − y + 3 = 0 y s: 4x − 2y + 1 = 0.

5. Calcula la distancia del origen al punto de intersección de las rectas x + y = 4 y 2x − y = 2.

6. Halla la recta perpendicular a 4x + 3y − 2 = 0 que pasa por (1, −2).

7. Calcula el área del triángulo de vértices A = (0, 0), B = (6, 0), C = (3, 4) usando el determinante de los vectores AB⃗ y AC⃗ (área = |det(AB⃗, AC⃗)| / 2).

8. (EVAU) Halla el simétrico del punto P = (3, 1) respecto de la recta r: x − y + 2 = 0.

9. Determina k para que las rectas kx + 2y − 1 = 0 y 3x − y + 4 = 0 sean perpendiculares.

10. Halla las ecuaciones de las bisectrices de las rectas 3x − 4y + 1 = 0 y 5x + 12y − 3 = 0.
🤔 ¿Sabías que...?
René Descartes (1596-1650) introdujo las coordenadas cartesianas en su obra «La Géométrie» (1637), unificando la geometría y el álgebra. Gracias a este enfoque, problemas geométricos que los griegos resolvían con regla y compás pudieron abordarse con ecuaciones. Pierre de Fermat, contemporáneo suyo, llegó independientemente a ideas similares, pero fue Descartes quien las sistematizó y publicó.
📋 Resumen de la lección
  • Un vector del plano v⃗ = (v₁, v₂) tiene módulo |v⃗| = √(v₁² + v₂²).
  • El producto escalar u⃗ · v⃗ = |u⃗||v⃗| cos θ permite calcular ángulos y detectar perpendicularidad.
  • La recta se puede expresar en forma vectorial, paramétrica, continua, general o explícita.
  • La distancia punto-recta se calcula con d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).
  • Dos rectas pueden ser secantes, paralelas o coincidentes según la proporcionalidad de sus coeficientes.
  • La mediatriz es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio.
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