Temario gratis › Matemáticas I - 1.º Bachillerato

2.1 Potencias: propiedades y operaciones

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Introducción

Las potencias permiten escribir de forma abreviada productos repetidos y trabajar con números muy grandes o muy pequeños. En esta lección repasamos sus propiedades con exponentes enteros y fraccionarios, que usarás constantemente en logaritmos, funciones y derivadas.

Explicación

Si n es un número natural, an = a · a · ... · a (n factores); a es la base y n el exponente.

Exponente cero y negativo (a ≠ 0):

Propiedades:

Errores frecuentes: (a + b)2 ≠ a2 + b2; y −32 = −9, mientras que (−3)2 = 9.

Signo: una base negativa elevada a exponente par da resultado positivo, y a exponente impar, negativo.

Exponente fraccionario (a > 0): am/n = ⁿ√(am). Así, 82/3 = (∛8)2 = 22 = 4. Las propiedades anteriores siguen siendo válidas, lo que permite operar con radicales como si fueran potencias.

Notación científica: un número se escribe como a · 10n, con 1 ≤ |a| < 10 y n entero. Por ejemplo, 0,0025 = 2,5 · 10−3. Para multiplicar, se multiplican las mantisas y se suman los exponentes: (2,5 · 10−3) · (4 · 105) = 10 · 102 = 103.

Las potencias de exponente fraccionario solo se definen así para bases positivas; con bases negativas hay que trabajar con el radical correspondiente.

Estrategia para simplificar: escribir todas las bases como potencias de números primos, aplicar las propiedades y dejar el resultado con exponentes positivos.

Ejemplo

1. Simplifica (23 · 2−5) / 2−4.

Numerador: 23+(−5) = 2−2. Cociente: 2−2−(−4) = 22 = 4.

2. Calcula 323/5.

32 = 25, así que 323/5 = (25)3/5 = 23 = 8.

Ejercicios

¿Cuánto vale (34 · 3−2)3 / 35?

¿Cuánto vale 27−2/3?

Material adicional

Trigonometría: razones, identidades y ecuaciones

1. Ángulos y su medida

Un ángulo se puede medir en grados sexagesimales (°) o en radianes (rad). La relación de conversión es:

π rad = 180°   ⟹   1 rad = 180°/π ≈ 57.30°
GradosRadianes
0°0
30°π/6
45°π/4
60°π/3
90°π/2
180°π
270°3π/2
360°2π

2. Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo con ángulo agudo α, hipotenusa h, cateto opuesto (a) y cateto contiguo (b):

sen α = a/h   |   cos α = b/h   |   tan α = a/b = sen α / cos α

Las razones inversas son:

csc α = 1/sen α   |   sec α = 1/cos α   |   cot α = 1/tan α = cos α / sen α

3. La circunferencia unitaria

Para ángulos de cualquier medida (no solo agudos), las razones trigonométricas se definen mediante la circunferencia unitaria (radio = 1, centrada en el origen). Si el punto P del círculo correspondiente al ángulo α es P = (x, y), entonces:

cos α = x   |   sen α = y   |   tan α = y/x (si x ≠ 0)

Signos según el cuadrante

Cuadrantesencostan
I (0° – 90°)+++
II (90° – 180°)+−−
III (180° – 270°)−−+
IV (270° – 360°)−+−

4. Razones trigonométricas de ángulos notables

αsen αcos αtan α
0°010
30°1/2√3/2√3/3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
90°10∄

5. Identidades trigonométricas fundamentales

Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para todo valor del ángulo en que están definidas:

sen²α + cos²α = 1   (Identidad pitagórica)
1 + tan²α = sec²α   |   1 + cot²α = csc²α

Fórmulas de suma y diferencia de ángulos

• sen(α ± β) = sen α · cos β ± cos α · sen β
• cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sen α · sen β
• tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α · tan β)

Fórmulas del ángulo doble

• sen(2α) = 2 · sen α · cos α
• cos(2α) = cos²α − sen²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sen²α
• tan(2α) = 2tan α / (1 − tan²α)

Fórmulas del ángulo mitad

sen(α/2) = ±√[(1 − cos α)/2]   |   cos(α/2) = ±√[(1 + cos α)/2]

Transformaciones de sumas en productos

• sen A + sen B = 2 · sen[(A+B)/2] · cos[(A−B)/2]
• sen A − sen B = 2 · cos[(A+B)/2] · sen[(A−B)/2]
• cos A + cos B = 2 · cos[(A+B)/2] · cos[(A−B)/2]
• cos A − cos B = −2 · sen[(A+B)/2] · sen[(A−B)/2]

📘 Ejemplo resuelto
Demuestra que sen(75°) = (√6 + √2) / 4.

sen(75°) = sen(45° + 30°) = sen 45° · cos 30° + cos 45° · sen 30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2) / 4 ✓
📘 Ejemplo resuelto
Simplifica (1 − cos 2α) / sen 2α.

Usamos las fórmulas del ángulo doble:
1 − cos 2α = 1 − (1 − 2sen²α) = 2sen²α
sen 2α = 2 sen α cos α

(2sen²α) / (2 sen α cos α) = sen α / cos α = tan α

6. Resolución de triángulos

Teorema del seno

a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R

donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Teorema del coseno

a² = b² + c² − 2bc · cos A

Generalización del teorema de Pitágoras (si A = 90°, cos A = 0 y se reduce a a² = b² + c²).

📘 Ejemplo resuelto
En un triángulo, a = 7, b = 5 y C = 60°. Halla c.

Aplicamos el teorema del coseno:
c² = a² + b² − 2ab · cos C = 49 + 25 − 2·7·5·cos 60° = 74 − 70·(1/2) = 74 − 35 = 39
c = √39 ≈ 6.24

7. Ecuaciones trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas más comunes se reducen a una de estas formas básicas:

• sen x = m → x = arcsen(m) + 2kπ o x = π − arcsen(m) + 2kπ
• cos x = m → x = ±arccos(m) + 2kπ
• tan x = m → x = arctan(m) + kπ
(con k ∈ ℤ; en seno y coseno, −1 ≤ m ≤ 1)

📘 Ejemplo resuelto
Resuelve 2sen²x − sen x − 1 = 0 en [0, 2π).

Cambio: t = sen x → 2t² − t − 1 = 0
t = [1 ± √(1 + 8)] / 4 = [1 ± 3] / 4 → t = 1 o t = −1/2

Si sen x = 1 → x = π/2
Si sen x = −1/2 → x = 7π/6 o x = 11π/6

Soluciones: x ∈ {π/2, 7π/6, 11π/6}
✏️ Ejercicios propuestos
1. Convierte a radianes: 150°, 225°, 330°. Convierte a grados: 5π/4, 2π/3, 7π/6.

2. Si sen α = 3/5 y α está en el segundo cuadrante, halla cos α, tan α y las demás razones.

3. Demuestra la identidad: (1 + tan²α) · cos²α = 1.

4. Calcula el valor exacto de cos(15°) usando la fórmula de diferencia de ángulos.

5. Simplifica: cos⁴x − sen⁴x. [Pista: usa la diferencia de cuadrados]

6. En un triángulo, a = 8, B = 40° y C = 75°. Calcula b y c (teorema del seno).

7. Resuelve cos 2x + cos x = 0 en [0, 2π).

8. Resuelve 2cos²x − 3cos x + 1 = 0 en [0, 2π).

9. (EVAU) Demuestra que sen 3α = 3 sen α − 4 sen³α.

10. Un barco observa un faro con un ángulo de elevación de 30°. Tras avanzar 200 m hacia el faro, el ángulo es de 60°. ¿Cuál es la altura del faro?
🤔 ¿Sabías que...?
La palabra «trigonometría» proviene del griego τρίγωνον (trígonon, triángulo) y μέτρον (métron, medida). Fue desarrollada por astrónomos griegos como Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) para calcular distancias y posiciones de estrellas. Los matemáticos indios y árabes medievales la perfeccionaron: la función «seno» proviene del sánscrito jyā (cuerda), que los árabes tradujeron como jayb y los latinos como sinus.
📋 Resumen de la lección
  • Un radián es el ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio (π rad = 180°).
  • Las razones trigonométricas se extienden a todos los ángulos mediante la circunferencia unitaria.
  • La identidad pitagórica sen²α + cos²α = 1 es la base de todas las demás.
  • Las fórmulas de suma/diferencia permiten calcular razones de ángulos compuestos.
  • Los teoremas del seno y del coseno resuelven triángulos oblicuángulos.
  • Las ecuaciones trigonométricas se resuelven reduciéndolas a formas básicas y usando la periodicidad.
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