Trigonometría: razones, identidades y ecuaciones
1. Ángulos y su medida
Un ángulo se puede medir en grados sexagesimales (°) o en radianes (rad). La relación de conversión es:
π rad = 180° ⟹ 1 rad = 180°/π ≈ 57.30°
| Grados | Radianes |
|---|
| 0° | 0 |
| 30° | π/6 |
| 45° | π/4 |
| 60° | π/3 |
| 90° | π/2 |
| 180° | π |
| 270° | 3π/2 |
| 360° | 2π |
2. Razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo con ángulo agudo α, hipotenusa h, cateto opuesto (a) y cateto contiguo (b):
sen α = a/h | cos α = b/h | tan α = a/b = sen α / cos α
Las razones inversas son:
csc α = 1/sen α | sec α = 1/cos α | cot α = 1/tan α = cos α / sen α
3. La circunferencia unitaria
Para ángulos de cualquier medida (no solo agudos), las razones trigonométricas se definen mediante la circunferencia unitaria (radio = 1, centrada en el origen). Si el punto P del círculo correspondiente al ángulo α es P = (x, y), entonces:
cos α = x | sen α = y | tan α = y/x (si x ≠ 0)
Signos según el cuadrante
| Cuadrante | sen | cos | tan |
|---|
| I (0° – 90°) | + | + | + |
| II (90° – 180°) | + | − | − |
| III (180° – 270°) | − | − | + |
| IV (270° – 360°) | − | + | − |
4. Razones trigonométricas de ángulos notables
| α | sen α | cos α | tan α |
|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | ∄ |
5. Identidades trigonométricas fundamentales
Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para todo valor del ángulo en que están definidas:
sen²α + cos²α = 1 (Identidad pitagórica)
1 + tan²α = sec²α | 1 + cot²α = csc²α
Fórmulas de suma y diferencia de ángulos
• sen(α ± β) = sen α · cos β ± cos α · sen β
• cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sen α · sen β
• tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α · tan β)
Fórmulas del ángulo doble
• sen(2α) = 2 · sen α · cos α
• cos(2α) = cos²α − sen²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sen²α
• tan(2α) = 2tan α / (1 − tan²α)
Fórmulas del ángulo mitad
sen(α/2) = ±√[(1 − cos α)/2] | cos(α/2) = ±√[(1 + cos α)/2]
Transformaciones de sumas en productos
• sen A + sen B = 2 · sen[(A+B)/2] · cos[(A−B)/2]
• sen A − sen B = 2 · cos[(A+B)/2] · sen[(A−B)/2]
• cos A + cos B = 2 · cos[(A+B)/2] · cos[(A−B)/2]
• cos A − cos B = −2 · sen[(A+B)/2] · sen[(A−B)/2]
📘 Ejemplo resueltoDemuestra que sen(75°) = (√6 + √2) / 4.
sen(75°) = sen(45° + 30°) = sen 45° · cos 30° + cos 45° · sen 30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2) / 4 ✓
📘 Ejemplo resueltoSimplifica (1 − cos 2α) / sen 2α.
Usamos las fórmulas del ángulo doble:
1 − cos 2α = 1 − (1 − 2sen²α) = 2sen²α
sen 2α = 2 sen α cos α
(2sen²α) / (2 sen α cos α) = sen α / cos α = tan α
6. Resolución de triángulos
Teorema del seno
a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Teorema del coseno
a² = b² + c² − 2bc · cos A
Generalización del teorema de Pitágoras (si A = 90°, cos A = 0 y se reduce a a² = b² + c²).
📘 Ejemplo resueltoEn un triángulo, a = 7, b = 5 y C = 60°. Halla c.
Aplicamos el teorema del coseno:
c² = a² + b² − 2ab · cos C = 49 + 25 − 2·7·5·cos 60° = 74 − 70·(1/2) = 74 − 35 = 39
c = √39 ≈ 6.24
7. Ecuaciones trigonométricas
Las ecuaciones trigonométricas más comunes se reducen a una de estas formas básicas:
• sen x = k → x = arcsen(k) + 2kπ o x = π − arcsen(k) + 2kπ
• cos x = k → x = ±arccos(k) + 2kπ
• tan x = k → x = arctan(k) + kπ
📘 Ejemplo resueltoResuelve 2sen²x − sen x − 1 = 0 en [0, 2π).
Cambio: t = sen x → 2t² − t − 1 = 0
t = [1 ± √(1 + 8)] / 4 = [1 ± 3] / 4 → t = 1 o t = −1/2
Si sen x = 1 → x = π/2
Si sen x = −1/2 → x = 7π/6 o x = 11π/6
Soluciones: x ∈ {π/2, 7π/6, 11π/6}
✏️ Ejercicios propuestos1. Convierte a radianes: 150°, 225°, 330°. Convierte a grados: 5π/4, 2π/3, 7π/6.
2. Si sen α = 3/5 y α está en el segundo cuadrante, halla cos α, tan α y las demás razones.
3. Demuestra la identidad: (1 + tan²α) · cos²α = 1.
4. Calcula el valor exacto de cos(15°) usando la fórmula de diferencia de ángulos.
5. Simplifica: cos⁴x − sen⁴x. [Pista: usa la diferencia de cuadrados]
6. En un triángulo, a = 8, B = 40° y C = 75°. Calcula b y c (teorema del seno).
7. Resuelve cos 2x + cos x = 0 en [0, 2π).
8. Resuelve 2cos²x − 3cos x + 1 = 0 en [0, 2π).
9. (EVAU) Demuestra que sen 3α = 3 sen α − 4 sen³α.
10. Un barco observa un faro con un ángulo de elevación de 30°. Tras avanzar 200 m hacia el faro, el ángulo es de 60°. ¿Cuál es la altura del faro?
🤔 ¿Sabías que...?La palabra «trigonometría» proviene del griego τρίγωνον (trígonon, triángulo) y μέτρον (métron, medida). Fue desarrollada por astrónomos griegos como Hiparco de Nicea (siglo II a.C.) para calcular distancias y posiciones de estrellas. Los matemáticos indios y árabes medievales la perfeccionaron: la función «seno» proviene del sánscrito jyā (cuerda), que los árabes tradujeron como jayb y los latinos como sinus.
📋 Resumen de la lección- Un radián es el ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio (π rad = 180°).
- Las razones trigonométricas se extienden a todos los ángulos mediante la circunferencia unitaria.
- La identidad pitagórica sen²α + cos²α = 1 es la base de todas las demás.
- Las fórmulas de suma/diferencia permiten calcular razones de ángulos compuestos.
- Los teoremas del seno y del coseno resuelven triángulos oblicuángulos.
- Las ecuaciones trigonométricas se resuelven reduciéndolas a formas básicas y usando la periodicidad.