15.2 Aplicaciones de la derivada

Monotonía y extremos
Crecimiento: f'(x) > 0 en un intervalo => f es creciente.
Decrecimiento: f'(x) < 0 en un intervalo => f es decreciente.

Máximo relativo: f'(a) = 0 y f''(a) < 0
Mínimo relativo: f'(a) = 0 y f''(a) > 0
Punto de inflexión: f''(a) = 0 y f'''(a) ≠ 0

Curvatura
Cóncava hacia arriba (convexa): f''(x) > 0
Cóncava hacia abajo (cóncava): f''(x) < 0
Punto de inflexión: Cambio de curvatura.

Ejemplo resuelto
Estudiar f(x) = x³ - 3x + 2

Dominio: R

Derivada: f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1)
f'(x) = 0 => x = -1, x = 1

Monotonía:
- f'(x) > 0 en (-∞, -1): creciente
- f'(x) < 0 en (-1, 1): decreciente
- f'(x) > 0 en (1, +∞): creciente

Extremos:
f''(x) = 6x
f''(-1) = -6 < 0 => Máximo relativo en (-1, 4)
f''(1) = 6 > 0 => Mínimo relativo en (1, 0)

Inflexión: f''(x) = 0 => x = 0. f'''(x) = 6 ≠ 0.
Punto de inflexión en (0, 2)

Ejemplo resuelto
Hallar las dimensiones del rectángulo de perímetro 20 cm con área máxima.

Sean x e y los lados. Perímetro: 2x + 2y = 20 => y = 10 - x
Área: A(x) = x · y = x(10 - x) = 10x - x²

A'(x) = 10 - 2x = 0 => x = 5
A''(x) = -2 < 0 => es un máximo

x = 5, y = 5. Es un cuadrado de lado 5 cm.
Área máxima = 25 cm².

Ejercicios
1) Estudia completamente f(x) = x⁴ - 8x² + 7 (dominio, derivada, extremos, inflexión).
2) Hallar las dimensiones de una caja sin tapa de volumen máximo construida con una lámina de 60 × 40 cm.
3) Halla la recta tangente a f(x) = e^x en x = 0.
4) Demuestra que f(x) = x + 1/x tiene un mínimo relativo en x = 1.
5) Un granjero quiere cercar un área rectangular junto a un río (no necesita valla en el lado del río). Si tiene 100 m de valla, ¿qué dimensiones maximizan el área?

Test de autoevaluación
1) Si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, entonces a es:
a) Máximo   b) Mínimo   c) Inflexión   d) No se puede saber

2) f(x) = x² - 4x tiene un mínimo en:
a) x = 0   b) x = 2   c) x = 4   d) x = -2

3) La recta tangente a f(x) = x² en x = 3 tiene pendiente:
a) 3   b) 6   c) 9   d) 12

4) f(x) = e^x es:
a) Siempre creciente   b) Siempre decreciente   c) Tiene un máximo   d) Tiene un mínimo

5) Un punto de inflexión se caracteriza por:
a) f' = 0   b) f'' = 0 y cambia de signo   c) f = 0   d) f'' > 0