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15.1 Derivadas: concepto y reglas de derivación
La derivada de una función en un punto mide la tasa de cambio instantánea de la función.
Definición de derivada
f'(a) = lim (h->0) [f(a+h) - f(a)] / h
Interpretación geométrica: La derivada en x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (a, f(a)).
Recta tangente: y - f(a) = f'(a) · (x - a)
Tabla de derivadas básicas| f(x) | f'(x) |
|---|
| k (constante) | 0 |
| xn | n · xn-1 |
| ex | ex |
| ax | ax · ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| loga(x) | 1/(x · ln(a)) |
| sen(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sen(x) |
| tan(x) | 1/cos2(x) = 1 + tan2(x) |
Reglas de derivación
(f + g)' = f' + g' (suma)
(k · f)' = k · f' (constante)
(f · g)' = f' · g + f · g' (producto)
(f / g)' = (f' · g - f · g') / g2 (cociente)
(f o g)' = f'(g(x)) · g'(x) (cadena)
Ejemplo resuelto
Derivar f(x) = (3x2 + 1) · ex
Regla del producto: f' = (3x2 + 1)' · ex + (3x2 + 1) · (ex)'
= 6x · ex + (3x2 + 1) · ex
= ex(6x + 3x2 + 1)
= ex(3x2 + 6x + 1)
Ejemplo resuelto
Derivar f(x) = ln(x2 + 1)
Regla de la cadena: f'(x) = [1/(x2+1)] · (x2+1)'
= [1/(x2+1)] · 2x
= 2x / (x2 + 1)
Ejercicios
1) Calcula f'(1) para f(x) = x3 - 4x2 + 7x - 2 usando la definición.
2) Deriva: g(x) = (2x - 1) / (x2 + 3)
3) Deriva: h(x) = sen(3x2)
4) Deriva: p(x) = ex2 - x
5) Halla la recta tangente a f(x) = x3 en el punto x = 1.