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14.2 Continuidad de funciones
Una función f es continua en x = a si se cumplen tres condiciones simultáneamente:
Condiciones de continuidad
1) Existe f(a) (f está definida en a).
2) Existe lim (x->a) f(x) (el límite existe).
3) lim (x->a) f(x) = f(a) (el límite coincide con el valor).
Tipos de discontinuidad
Evitable: Existe el límite pero no coincide con f(a) o f no está definida. Se puede "reparar" redefiniendo f(a).
De salto finito: Los límites laterales existen pero son distintos. lim(x->a-) ≠ lim(x->a+).
De salto infinito: Alguno de los límites laterales es infinito (asíntota vertical).
Ejemplo resuelto
Estudiar la continuidad de f(x) = (x2-1)/(x-1) en x = 1.
1) f(1) no existe (0/0). La función no está definida en x = 1.
2) lim (x->1) (x2-1)/(x-1) = lim (x+1) = 2. El límite sí existe.
Discontinuidad evitable en x = 1. Se puede extender definiendo f(1) = 2.
Ejemplo resuelto
Hallar a para que f(x) sea continua en x = 2:
f(x) = x2 + 1 si x ≤ 2, y f(x) = ax - 1 si x > 2
Para continuidad en x = 2:
lim (x->2-) f(x) = 22 + 1 = 5
lim (x->2+) f(x) = 2a - 1
f(2) = 5
Igualamos: 2a - 1 = 5 => a = 3
Con a = 3, la función es continua en x = 2.
Teorema de Bolzano
Si f es continua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0 (signos opuestos), entonces existe al menos un c en (a, b) tal que f(c) = 0.
Aplicación: demostrar la existencia de raíces de ecuaciones.
Ejercicios
1) Clasifica las discontinuidades de f(x) = (x2-4)/(x2-3x+2).
2) Halla a y b para que f sea continua: f(x) = ax+b si x<1, f(x) = 3 si x=1, f(x) = 2x-b si x>1.
3) Demuestra con Bolzano que x3 + x - 1 = 0 tiene solución en (0,1).
4) Estudia la continuidad de f(x) = |x-2| / (x-2).
5) Clasifica todos los puntos de discontinuidad de f(x) = 1 / (x2 - 1).
Test de autoevaluación
1) Una función f es continua en a si:
a) f(a) existe b) El límite existe c) Límite = f(a) y ambos existen d) Es derivable
2) La discontinuidad de f(x) = 1/x en x = 0 es:
a) Evitable b) De salto finito c) De salto infinito d) No hay discontinuidad
3) El teorema de Bolzano garantiza:
a) Continuidad b) Derivabilidad c) Existencia de raíz d) Unicidad de raíz
4) lim(x->3) (x2-9)/(x-3) vale:
a) 0 b) 6 c) 3 d) No existe
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre 14.2 Continuidad de funciones.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.