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14.1 Concepto de límite y cálculo de límites
El límite de f(x) cuando x tiende a a es L si f(x) se aproxima a L cuando x se acerca a a.
Definición y propiedades
lim (x->a) f(x) = L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ entonces |f(x) - L| < ε.
Propiedades:
lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
lim [f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x)
lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (si lim g(x) ≠ 0)
lim [f(x)]n = [lim f(x)]n
Indeterminaciones| Tipo | Forma | Técnica |
|---|
| 0/0 | f(a)/g(a) = 0/0 | Factorizar, racionalizar |
| ∞/∞ | Polinomios al infinito | Dividir por mayor potencia |
| ∞ - ∞ | Diferencia | Operar, racionalizar |
| 1∞ | Exponencial | Fórmula: elim(f-1)·g |
Ejemplo resuelto
Calcular lim (x->2) (x2 - 4) / (x - 2)
Sustituimos: 0/0 (indeterminación)
Factorizamos numerador: (x-2)(x+2) / (x-2)
Simplificamos: x + 2
lim (x->2) (x + 2) = 4
Ejemplo resuelto
Calcular lim (x->∞) (3x2 + x) / (5x2 - 2)
Indeterminación ∞/∞. Dividimos por x2:
= lim (3 + 1/x) / (5 - 2/x2)
= (3 + 0) / (5 - 0)
= 3/5
Recuerda
Regla práctica para límites de cocientes de polinomios en el infinito:
- Si grado numerador < grado denominador: límite = 0
- Si grado numerador = grado denominador: cociente de coeficientes principales
- Si grado numerador > grado denominador: límite = ±∞
Ejemplo resuelto
Calcular lim (x->∞) (√(x2+1) - x)
Indeterminación ∞ - ∞. Multiplicamos por el conjugado:
= lim (√(x2+1) - x) · (√(x2+1) + x) / (√(x2+1) + x)
= lim (x2+1 - x2) / (√(x2+1) + x)
= lim 1 / (√(x2+1) + x)
= 1 / (∞ + ∞) = 0
Ejercicios
1) Calcula: lim (x->1) (x3 - 1) / (x2 - 1)
2) Calcula: lim (x->∞) (2x3 - x) / (x3 + 3x2)
3) Calcula: lim (x->0) (sen(x) / x) [pista: este límite famoso vale 1]
4) Calcula: lim (x->∞) (1 + 3/x)x
5) Calcula los límites laterales de f(x) = 1/(x-1) cuando x->1