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14.1 Concepto de limite y calculo de limites
El limite de f(x) cuando x tiende a a es L si f(x) se aproxima a L cuando x se acerca a a.
Definición y propiedades
lim (x->a) f(x) = L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x - a| < δ entonces |f(x) - L| < ε.
Propiedades:
lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
lim [f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x)
lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (si lim g(x) ≠ 0)
lim [f(x)]n = [lim f(x)]n
Indeterminaciones| Tipo | Forma | Técnica |
|---|
| 0/0 | f(a)/g(a) = 0/0 | Factorizar, racionalizar |
| ∞/∞ | Polinomios al infinito | Dividir por mayor potencia |
| ∞ - ∞ | Diferencia | Operar, racionalizar |
| 1∞ | Exponencial | Formula: elim(f-1)·g |
Ejemplo resuelto
Calcular lim (x->2) (x2 - 4) / (x - 2)
Sustituimos: 0/0 (indeterminación)
Factorizamos numerador: (x-2)(x+2) / (x-2)
Simplificamos: x + 2
lim (x->2) (x + 2) = 4
Ejemplo resuelto
Calcular lim (x->∞) (3x2 + x) / (5x2 - 2)
Indeterminación ∞/∞. Dividimos por x2:
= lim (3 + 1/x) / (5 - 2/x2)
= (3 + 0) / (5 - 0)
= 3/5
Recuerda
Regla practica para limites de cocientes de polinomios en el infinito:
- Si grado numerador < grado denominador: limite = 0
- Si grado numerador = grado denominador: cociente de coeficientes principales
- Si grado numerador > grado denominador: limite = ±∞
Ejemplo resuelto
Calcular lim (x->∞) (√(x2+1) - x)
Indeterminación ∞ - ∞. Multiplicamos por el conjugado:
= lim (√(x2+1) - x) · (√(x2+1) + x) / (√(x2+1) + x)
= lim (x2+1 - x2) / (√(x2+1) + x)
= lim 1 / (√(x2+1) + x)
= 1 / (∞ + ∞) = 0
Ejercicios
1) Calcula: lim (x->1) (x3 - 1) / (x2 - 1)
2) Calcula: lim (x->∞) (2x3 - x) / (x3 + 3x2)
3) Calcula: lim (x->0) (sen(x) / x) [pista: este limite famoso vale 1]
4) Calcula: lim (x->∞) (1 + 3/x)x
5) Calcula los limites laterales de f(x) = 1/(x-1) cuando x->1
Ampliación: Concepto y calculo de limites
En esta lección vamos a profundizar en el estudio de Concepto y calculo de limites, un concepto fundamental en las matemáticas que nos permite comprender mejor el mundo que nos rodea y resolver problemas de la vida cotidiana.
El estudio de Concepto y calculo de limites se basa en una serie de principios y reglas que debemos conocer y aplicar de forma sistemática. Comprender estos fundamentos es esencial para avanzar en el aprendizaje de las matemáticas y poder abordar problemas cada vez mas complejos.
A lo largo de la historia, los matemáticos han desarrollado métodos y formulas para trabajar con este concepto de forma eficiente. Desde las civilizaciones antiguas de Mesopotamia y Egipto hasta nuestros días, Concepto y calculo de limites ha sido un pilar en el desarrollo del pensamiento matemático.
En el nivel de tu curso, es fundamental dominar los aspectos básicos de Concepto y calculo de limites antes de avanzar a niveles superiores. Practica cada dia y veras como mejoras tu comprensión y velocidad.
📌 RecuerdaLos conceptos clave de esta lección sobre Concepto y calculo de limites son fundamentales para tu progreso en la asignatura. Repasa esta sección tantas veces como necesites y no dudes en pedir ayuda a tu profesor si algo no te queda claro.
📘 EjemploPara comprender mejor Concepto y calculo de limites, piensa en una situación de tu vida cotidiana donde puedas aplicar lo aprendido. Por ejemplo, cuando vas al supermercado, cuando lees un libro, cuando observas la naturaleza o cuando practicas deporte. Conectar la teoría con la practica hace que el aprendizaje sea mas significativo y duradero.
✏️ Ejercicios1. Define con tus propias palabras el concepto de Concepto y calculo de limites.
2. Pon un ejemplo numérico de Concepto y calculo de limites y resuelvelo paso a paso.
3. Resuelve los siguientes problemas:
a) Si un libro cuesta 12 euros y compras 3, ¿cuanto pagas en total?
b) Tienes 100 euros y gastas 37. ¿Cuanto te queda?
c) Reparte 48 caramelos entre 6 niños por igual. ¿Cuantos le tocan a cada uno?
4. Completa la serie: 5, 10, 15, ___, ___, ___, 35, ___
5. Escribe tres situaciones de la vida real donde necesites usar Concepto y calculo de limites.
6. Calcula mentalmente: a) 25 + 75 = ___ b) 100 - 47 = ___ c) 8 x 7 = ___
7. Un tren sale a las 9:30 y tarda 2 horas y 15 minutos. ¿A que hora llega?
8. Ordena de menor a mayor: 345, 243, 534, 432, 325.
🎯 Actividad practicaPractica con problemas reales:
1. Busca en un folleto de supermercado los precios de 5 productos. Calcula cuanto costaría comprar 3 unidades de cada uno.
2. Mide tu habitación (largo y ancho) y calcula su perímetro y área.
3. Crea 5 problemas sobre Concepto y calculo de limites y resuelvelos. Luego, intercámbialos con un compañero para que los resuelva.
4. Cronometra cuanto tardas en resolver 10 operaciones de calculo mental. Repite mañana e intenta mejorar tu tiempo.
📋 Resumen de la lección- En esta lección hemos profundizado en Concepto y calculo de limites.
- Es importante comprender los conceptos básicos antes de avanzar a niveles mas complejos.
- La practica constante y la resolución de ejercicios son clave para afianzar lo aprendido.
- Las matemáticas están presentes en todos los ámbitos de la vida cotidiana.
- Revisa tus errores para aprender de ellos: equivocarse es parte del proceso de aprendizaje.