Estás viendo el contenido de esta lección en modo lectura. Los ejercicios no se corrigen aquí — accede con una cuenta gratuita para practicar con corrección automática y guardar tu progreso.
13.1 Funciones elementales: lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas
Funciones lineales y afines
f(x) = mx + n
Gráfica: recta con pendiente m y ordenada en el origen n.
m > 0: creciente. m < 0: decreciente. m = 0: constante.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax2 + bx + c
Gráfica: parábola.
Vértice: V = (-b/(2a), f(-b/(2a)))
a > 0: parábola abierta hacia arriba (mínimo en el vértice).
a < 0: parábola abierta hacia abajo (máximo en el vértice).
Eje de simetría: x = -b/(2a)
Funciones exponenciales
f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1)
Dom = R, Im = (0, +∞)
Siempre pasa por (0, 1)
a > 1: creciente. 0 < a < 1: decreciente.
Asíntotas: y = 0 (horizontal)
Funciones logarítmicas
f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)
Dom = (0, +∞), Im = R
Siempre pasa por (1, 0)
a > 1: creciente. 0 < a < 1: decreciente.
Asíntotas: x = 0 (vertical)
Es la función inversa de la exponencial.
Transformaciones de funciones
Transformaciones básicas| Transformación | Efecto |
|---|
| f(x) + k | Traslación vertical (arriba si k>0) |
| f(x - h) | Traslación horizontal (derecha si h>0) |
| a · f(x) | Dilatación/contracción vertical |
| -f(x) | Simetría respecto al eje X |
| f(-x) | Simetría respecto al eje Y |
| |f(x)| | Refleja la parte negativa hacia arriba |
Ejemplo resuelto
Analizar f(x) = -2(x-1)2 + 3
Tipo: cuadrática, parábola abierta hacia abajo (a = -2 < 0)
Vértice: (1, 3) - es un máximo
Eje de simetría: x = 1
Dom = R, Im = (-∞, 3]
Corte con eje Y: f(0) = -2(1) + 3 = 1, punto (0, 1)
Cortes con eje X: -2(x-1)2 + 3 = 0 => (x-1)2 = 3/2
x = 1 ± √(3/2) = 1 ± √6/2
Ejercicios
1) Representa y analiza f(x) = 3x-1 + 2 (dominio, recorrido, asíntotas, monotonía).
2) Analiza f(x) = log2(x+4) - 1 (dominio, recorrido, asíntotas, cortes con ejes).
3) Halla el vértice de f(x) = 2x2 - 8x + 5 y determina si es máximo o mínimo.
4) A partir de f(x) = x2, describe las transformaciones para obtener g(x) = -(x+2)2 + 4.
5) Una población crece según P(t) = 5000 · 2t/10. Cuanto tardara en llegar a 20000?
Test de autoevaluación
1) La función f(x) = 2-x es:
a) Creciente b) Decreciente c) Constante d) No monótona
2) El vértice de f(x) = x2 - 6x + 8 es:
a) (3, -1) b) (-3, -1) c) (3, 1) d) (6, 8)
3) El dominio de f(x) = ln(x - 2) es:
a) R b) (2, +∞) c) [2, +∞) d) (-∞, 2)
4) La asíntotas horizontal de f(x) = 3x + 1 es:
a) y = 0 b) y = 1 c) y = 3 d) No tiene