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12.1 Funciones: conceptos fundamentales
Una función f: A -> B es una correspondencia que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.
Conceptos clave
Dominio (Dom f): Conjunto de valores de x para los que f está definida.
Recorrido (Im f): Conjunto de valores que toma f(x).
Creciente: x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
Decreciente: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
Acotada: Existe M tal que |f(x)| ≤ M para todo x del dominio.
Simetría
Función par: f(-x) = f(x) para todo x. Simétrica respecto al eje Y.
Función impar: f(-x) = -f(x) para todo x. Simétrica respecto al origen.
Cálculo del dominio| Tipo de función | Restricción |
|---|
| Polinómica | Dom = R (sin restricciones) |
| Racional P(x)/Q(x) | Q(x) ≠ 0 |
| Irracional √g(x) | g(x) ≥ 0 |
| Logarítmica log(g(x)) | g(x) > 0 |
| Exponencial ag(x) | Dom = R (sin restricciones) |
Ejemplo resuelto
Hallar el dominio de f(x) = √(x+3) / (x2 - 4)
Restricción 1 (raíz): x + 3 ≥ 0 => x ≥ -3
Restricción 2 (denominador): x2 - 4 ≠ 0 => x ≠ ±2
Combinamos: x ≥ -3 y x ≠ 2 y x ≠ -2
Dom f = [-3, -2) U (-2, 2) U (2, +∞)
Ejemplo resuelto
Determinar si f(x) = x3 - x es par, impar o ninguna.
f(-x) = (-x)3 - (-x) = -x3 + x = -(x3 - x) = -f(x)
Como f(-x) = -f(x), la función es impar.
Composición e inversa
Composición y función inversa
Composición: (f o g)(x) = f(g(x))
Función inversa: f-1 existe si f es biyectiva.
Para hallarla: 1) Escribir y = f(x). 2) Despejar x en función de y. 3) Intercambiar x e y.
Ejercicios
1) Halla el dominio de f(x) = ln(x2 - 1)
2) Determina si f(x) = x4 - 3x2 + 1 es par, impar o ninguna.
3) Dadas f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2, calcula (f o g)(x) y (g o f)(x).
4) Halla la inversa de f(x) = (2x + 1) / (x - 3)
5) Halla el dominio y recorrido de f(x) = 1/(x-1) + 2