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12.1 Funciones: conceptos fundamentales
Una función f: A -> B es una correspondencia que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.
Conceptos clave
Dominio (Dom f): Conjunto de valores de x para los que f esta definida.
Recorrido (Im f): Conjunto de valores que toma f(x).
Creciente: x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
Decreciente: x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
Acotada: Existe M tal que |f(x)| ≤ M para todo x del dominio.
Simetría
Función par: f(-x) = f(x) para todo x. Simétrica respecto al eje Y.
Función impar: f(-x) = -f(x) para todo x. Simétrica respecto al origen.
Calculo del dominio| Tipo de función | Restricción |
|---|
| Polinómica | Dom = R (sin restricciones) |
| Racional P(x)/Q(x) | Q(x) ≠ 0 |
| Irracional √g(x) | g(x) ≥ 0 |
| Logarítmica log(g(x)) | g(x) > 0 |
| Exponencial ag(x) | Dom = R (sin restricciones) |
Ejemplo resuelto
Hallar el dominio de f(x) = √(x+3) / (x2 - 4)
Restricción 1 (raíz): x + 3 ≥ 0 => x ≥ -3
Restricción 2 (denominador): x2 - 4 ≠ 0 => x ≠ ±2
Combinamos: x ≥ -3 y x ≠ 2 y x ≠ -2
Dom f = [-3, -2) U (-2, 2) U (2, +∞)
Ejemplo resuelto
Determinar si f(x) = x3 - x es par, impar o ninguna.
f(-x) = (-x)3 - (-x) = -x3 + x = -(x3 - x) = -f(x)
Como f(-x) = -f(x), la función es impar.
Composición e inversa
Composición y función inversa
Composición: (f o g)(x) = f(g(x))
Función inversa: f-1 existe si f es biyectiva.
Para hallarla: 1) Escribir y = f(x). 2) Despejar x en función de y. 3) Intercambiar x e y.
Ejercicios
1) Halla el dominio de f(x) = ln(x2 - 1)
2) Determina si f(x) = x4 - 3x2 + 1 es par, impar o ninguna.
3) Dadas f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2, calcula (f o g)(x) y (g o f)(x).
4) Halla la inversa de f(x) = (2x + 1) / (x - 3)
5) Halla el dominio y recorrido de f(x) = 1/(x-1) + 2
Ampliación: Conceptos fundamentales
En esta lección vamos a profundizar en el estudio de Conceptos fundamentales, un concepto fundamental en las matemáticas que nos permite comprender mejor el mundo que nos rodea y resolver problemas de la vida cotidiana.
El estudio de Conceptos fundamentales se basa en una serie de principios y reglas que debemos conocer y aplicar de forma sistemática. Comprender estos fundamentos es esencial para avanzar en el aprendizaje de las matemáticas y poder abordar problemas cada vez mas complejos.
A lo largo de la historia, los matemáticos han desarrollado métodos y formulas para trabajar con este concepto de forma eficiente. Desde las civilizaciones antiguas de Mesopotamia y Egipto hasta nuestros días, Conceptos fundamentales ha sido un pilar en el desarrollo del pensamiento matemático.
En el nivel de tu curso, es fundamental dominar los aspectos básicos de Conceptos fundamentales antes de avanzar a niveles superiores. Practica cada dia y veras como mejoras tu comprensión y velocidad.
📌 RecuerdaLos conceptos clave de esta lección sobre Conceptos fundamentales son fundamentales para tu progreso en la asignatura. Repasa esta sección tantas veces como necesites y no dudes en pedir ayuda a tu profesor si algo no te queda claro.
📘 EjemploPara comprender mejor Conceptos fundamentales, piensa en una situación de tu vida cotidiana donde puedas aplicar lo aprendido. Por ejemplo, cuando vas al supermercado, cuando lees un libro, cuando observas la naturaleza o cuando practicas deporte. Conectar la teoría con la practica hace que el aprendizaje sea mas significativo y duradero.
✏️ Ejercicios1. Define con tus propias palabras el concepto de Conceptos fundamentales.
2. Pon un ejemplo numérico de Conceptos fundamentales y resuelvelo paso a paso.
3. Resuelve los siguientes problemas:
a) Si un libro cuesta 12 euros y compras 3, ¿cuanto pagas en total?
b) Tienes 100 euros y gastas 37. ¿Cuanto te queda?
c) Reparte 48 caramelos entre 6 niños por igual. ¿Cuantos le tocan a cada uno?
4. Completa la serie: 5, 10, 15, ___, ___, ___, 35, ___
5. Escribe tres situaciones de la vida real donde necesites usar Conceptos fundamentales.
6. Calcula mentalmente: a) 25 + 75 = ___ b) 100 - 47 = ___ c) 8 x 7 = ___
7. Un tren sale a las 9:30 y tarda 2 horas y 15 minutos. ¿A que hora llega?
8. Ordena de menor a mayor: 345, 243, 534, 432, 325.
🎯 Actividad practicaPractica con problemas reales:
1. Busca en un folleto de supermercado los precios de 5 productos. Calcula cuanto costaría comprar 3 unidades de cada uno.
2. Mide tu habitación (largo y ancho) y calcula su perímetro y área.
3. Crea 5 problemas sobre Conceptos fundamentales y resuelvelos. Luego, intercámbialos con un compañero para que los resuelva.
4. Cronometra cuanto tardas en resolver 10 operaciones de calculo mental. Repite mañana e intenta mejorar tu tiempo.
📋 Resumen de la lección- En esta lección hemos profundizado en Conceptos fundamentales.
- Es importante comprender los conceptos básicos antes de avanzar a niveles mas complejos.
- La practica constante y la resolución de ejercicios son clave para afianzar lo aprendido.
- Las matemáticas están presentes en todos los ámbitos de la vida cotidiana.
- Revisa tus errores para aprender de ellos: equivocarse es parte del proceso de aprendizaje.