Los radicales aparecen al calcular diagonales, distancias o soluciones de ecuaciones. En esta lección aprenderás a simplificarlos, a operar con ellos y a racionalizar denominadores.
Un radical es una expresión ⁿ√a, donde n es el índice y a el radicando. Se puede escribir como potencia de exponente fraccionario: ⁿ√(am) = am/n. Si el índice es par, el radicando debe ser mayor o igual que 0 para que el resultado sea real.
Propiedades (con radicandos no negativos):
Dos radicales son equivalentes si representan el mismo número: ⁴√9 = √3, porque se pueden dividir índice y exponente entre el mismo número.
Simplificar y extraer factores. Se descompone el radicando en factores primos y se sacan los factores cuyo exponente sea mayor o igual que el índice: √72 = √(2³·3²) = 2·3·√2 = 6√2.
Suma y resta. Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando). Por eso, antes de sumar hay que simplificar. Atención: √a + √b ≠ √(a + b); por ejemplo, √9 + √16 = 7, pero √25 = 5.
Producto y cociente. Con el mismo índice, se multiplican o dividen los radicandos. Con índices distintos, primero se reducen a índice común (el m.c.m. de los índices): √2 · ∛2 = ⁶√(2³) · ⁶√(2²) = ⁶√32.
Introducir factores. Es la operación contraria a extraer: un factor entra en la raíz elevado al índice: 3√2 = √(3²·2) = √18. Sirve para comparar radicales: como √18 > √17, 3√2 > √17.
Racionalizar es eliminar las raíces del denominador:
1. Calcula √12 + √27 − √48.
√12 = 2√3; √27 = 3√3; √48 = 4√3. Resultado: 2√3 + 3√3 − 4√3 = √3.
2. Racionaliza 6/√3: (6·√3)/(√3·√3) = 6√3/3 = 2√3.
3. Racionaliza 4/(√5 − 1). Multiplicamos por el conjugado √5 + 1: 4(√5 + 1)/((√5)² − 1²) = 4(√5 + 1)/4 = √5 + 1.
¿Cuánto vale √50 + √18 − √8?
¿Cuál es el resultado de racionalizar 10/√5?
Un polinomio en la variable x con coeficientes reales es una expresión de la forma:
donde n ∈ ℕ es el grado del polinomio, aₙ es el coeficiente principal y a₀ es el término independiente.
La suma y la resta se realizan agrupando términos de igual grado. El producto se obtiene multiplicando cada término de un polinomio por cada término del otro y sumando los resultados (propiedad distributiva).
La división de polinomios sigue el algoritmo de la división euclídea:
La regla de Ruffini es un método abreviado para dividir un polinomio P(x) entre un binomio (x − a). Es especialmente útil para factorizar polinomios y evaluar P(a).
Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de polinomios irreducibles. Los pasos habituales son:
1. Extraer factor común si existe.
2. Buscar raíces enteras entre los divisores del término independiente (si el coeficiente principal no es 1, las posibles raíces racionales son los cocientes de un divisor del término independiente entre un divisor del coeficiente principal).
3. Aplicar Ruffini repetidamente para ir dividiendo por los factores encontrados.
4. Descomponer el cociente resultante (si es de grado 2, usar la fórmula general).
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios P(x)/Q(x) con Q(x) ≠ 0. Se simplifica factorizando numerador y denominador y cancelando factores comunes. Las operaciones (suma, resta, producto, cociente) siguen las mismas reglas que las fracciones numéricas, calculando el m.c.m. de los denominadores cuando sea necesario.
La ecuación general de segundo grado ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) se resuelve con la fórmula general:
El discriminante Δ = b² − 4ac determina la naturaleza de las soluciones:
• Δ > 0: dos raíces reales distintas.
• Δ = 0: una raíz real doble (x = −b/(2a)).
• Δ < 0: dos raíces complejas conjugadas.
Una ecuación bicuadrada tiene la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Se resuelve mediante el cambio de variable t = x², obteniéndose una ecuación de segundo grado en t. Las soluciones de x son ±√t para cada valor t ≥ 0.
Para resolver ecuaciones con radicales, se aísla el radical y se eleva a la potencia correspondiente. Es imprescindible comprobar las soluciones, ya que al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones extrañas (que no satisfacen la ecuación original).
Ecuaciones exponenciales: Se intenta expresar ambos miembros con la misma base o se aplican logaritmos. Ejemplo: 2x+1 = 8 → 2x+1 = 2³ → x + 1 = 3 → x = 2.
Ecuaciones logarítmicas: Se aplican las propiedades de los logaritmos para condensar y luego se «deshace» el logaritmo. Es obligatorio comprobar que las soluciones cumplen la condición de existencia (argumento > 0).
Las inecuaciones se resuelven de forma análoga a las ecuaciones, teniendo en cuenta que al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte el sentido de la desigualdad.
Para inecuaciones de segundo grado ax² + bx + c > 0 (o ≥, <, ≤), se factoriza la expresión, se hallan las raíces, y se estudia el signo en los intervalos determinados por dichas raíces.
Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma:
Métodos de resolución:
a) Sustitución: Se despeja una incógnita de una ecuación y se sustituye en la otra.
b) Igualación: Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones y se igualan.
c) Reducción: Se multiplican las ecuaciones por constantes adecuadas para eliminar una incógnita al sumar ambas.
d) Cramer (determinantes): x = Δₓ/Δ, y = Δᵧ/Δ, donde Δ es el determinante de la matriz de coeficientes.
Un sistema puede ser: compatible determinado (solución única, Δ ≠ 0), compatible indeterminado (infinitas soluciones) o incompatible (sin solución).
Cuando alguna ecuación no es lineal (cuadrática, etc.), se combinan los métodos anteriores. La sustitución suele ser la más eficaz.
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