1.1 Clasificación, intervalos y valor absoluto

Números reales y números complejos

1. Los conjuntos numéricos

A lo largo de la historia de las matemáticas, la necesidad de resolver problemas cada vez más complejos ha llevado a ampliar sucesivamente los conjuntos numéricos. Repasemos esta cadena de inclusiones:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

2. La recta real y propiedades de ℝ

Los números reales se representan en la recta real, donde cada punto corresponde a un único número real y viceversa (biyección). Los reales poseen las siguientes propiedades fundamentales:

a) Propiedades algebraicas: ℝ es un cuerpo conmutativo respecto de la suma y el producto. Esto significa que la suma y el producto son asociativos, conmutativos, tienen elemento neutro (0 y 1 respectivamente), y todo elemento tiene opuesto (para la suma) e inverso (para el producto, excepto el 0).

b) Propiedades de orden: ℝ es un cuerpo ordenado. Dados a, b ∈ ℝ, se cumple exactamente una de las relaciones: a < b, a = b, o a > b (tricotomía). Además, el orden es compatible con las operaciones.

c) Axioma del supremo (completitud): Todo subconjunto de ℝ no vacío y acotado superiormente tiene supremo en ℝ. Esta propiedad distingue a ℝ de ℚ y garantiza la ausencia de «huecos» en la recta real.

3. Valor absoluto y distancia

El valor absoluto de un número real x se define como:

Propiedades del valor absoluto:

• |x| ≥ 0 para todo x ∈ ℝ, y |x| = 0 si y solo si x = 0.
• |x · y| = |x| · |y| (multiplicatividad).
• |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular).
• ||x| − |y|| ≤ |x − y| (desigualdad triangular inversa).

La distancia entre dos números reales a y b se define como d(a, b) = |a − b|.

4. Intervalos y entornos

Un intervalo es un subconjunto de ℝ formado por todos los números reales comprendidos entre dos extremos:

Un entorno de centro a y radio r > 0 es el intervalo abierto E(a, r) = (a − r, a + r), es decir, {x ∈ ℝ : |x − a| < r}.

5. Radicales y potencias

Las potencias de exponente racional se definen como:

Propiedades fundamentales de las potencias (a, b > 0; r, s ∈ ℚ):

• a^r · a^s = a^r+s
• a^r / a^s = a^r−s
• (a^r)^s = a^r·s
• (a · b)^r = a^r · b^r
• (a / b)^r = a^r / b^r

Para racionalizar denominadores:

6. Logaritmos

El logaritmo en base a de un número positivo x es el exponente al que hay que elevar a para obtener x:

Propiedades de los logaritmos:

• log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y)
• log_a(x / y) = log_a(x) − log_a(y)
• log_a(xⁿ) = n · log_a(x)
• log_a(a) = 1 y log_a(1) = 0
• Cambio de base: log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)

7. Números complejos

Los números complejos surgen de la necesidad de resolver ecuaciones como x² + 1 = 0, que no tiene solución en ℝ. Se define la unidad imaginaria:

Un número complejo z se escribe en forma binómica como z = a + bi, donde a = Re(z) es la parte real y b = Im(z) es la parte imaginaria.

Operaciones en forma binómica

Sean z₁ = a + bi y z₂ = c + di:

• Suma: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• Resta: z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i
• Producto: z₁ · z₂ = (ac − bd) + (ad + bc)i
• Conjugado: z̄ = a − bi
• Módulo: |z| = √(a² + b²)
• Cociente: z₁/z₂ = (z₁ · z̄₂) / |z₂|²

Forma polar y trigonométrica

Todo número complejo z = a + bi (z ≠ 0) se puede expresar en forma polar:

donde r = |z| = √(a² + b²) es el módulo y θ = arg(z) = arctan(b/a) es el argumento (ángulo con el eje real positivo). La forma polar facilita enormemente la multiplicación y la división:

• z₁ · z₂ = r₁r₂ · [cos(θ₁ + θ₂) + i · sen(θ₁ + θ₂)]
• z₁ / z₂ = (r₁/r₂) · [cos(θ₁ − θ₂) + i · sen(θ₁ − θ₂)]