Restricciones, función objetivo, región factible, optimización
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Programación lineal: restricciones, función objetivo, región factible y optimización
La programación lineal es una herramienta matemática para tomar la mejor decisión posible (máximo beneficio, mínimo coste) cuando los recursos son limitados. Se usa en empresas para planificar la producción, el transporte o las dietas.
1. Elementos de un problema de programación lineal
Variables de decisión (x, y): las cantidades que debemos decidir (por ejemplo, número de mesas y de sillas que se fabrican).
Función objetivo: la expresión lineal que queremos maximizar o minimizar, del tipo z = ax + by.
Restricciones: inecuaciones lineales que expresan las limitaciones (horas, materiales, presupuesto). Casi siempre se añaden las de no negatividad: x ≥ 0, y ≥ 0.
Región factible: el conjunto de puntos del plano que cumplen todas las restricciones a la vez. Es un polígono (acotado o no) llamado también conjunto de soluciones factibles.
2. Cómo se dibuja la región factible
Cada inecuación se convierte en una ecuación (recta) y se dibuja, por ejemplo, hallando sus cortes con los ejes.
Se elige un punto de prueba que no esté en la recta (el (0, 0) si es posible) y se comprueba si cumple la inecuación: si la cumple, el semiplano válido es el que contiene ese punto; si no, el otro.
La región factible es la intersección de todos los semiplanos.
Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas formados por las rectas que se cortan en cada esquina.
3. Teorema fundamental y método de los vértices
Si la región factible es acotada (un polígono cerrado), la función objetivo alcanza su máximo y su mínimo en alguno de sus vértices. Si los alcanza en dos vértices consecutivos, también los alcanza en todos los puntos del lado que los une: la solución es múltiple (infinitas soluciones).
Por tanto, basta con evaluar z en todos los vértices y comparar. Si la región no es acotada, puede que no exista máximo o mínimo; hay que estudiarlo con cuidado (por ejemplo, con las rectas de nivel ax + by = k).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. Maximiza z = 3x + 2y sujeta a: x + y ≤ 4, x + 3y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0.
Recta x + y = 4: corta los ejes en (4, 0) y (0, 4). Recta x + 3y = 6: en (6, 0) y (0, 2). El (0, 0) cumple ambas, así que la región está del lado del origen.
Intersección de x + y = 4 y x + 3y = 6: restando, 2y = 2 → y = 1, x = 3.
Ejemplo 2 (problema económico). Un taller fabrica mesas y sillas. Cada mesa necesita 2 horas de carpintería y 1 de acabado; cada silla, 1 hora de carpintería y 1 de acabado. Cada semana dispone de 100 horas de carpintería y 80 de acabado. Cada mesa deja un beneficio de 40 € y cada silla de 25 €. ¿Cuántas debe fabricar para maximizar el beneficio?
Variables: x = número de mesas, y = número de sillas.
Función objetivo: B = 40x + 25y (maximizar).
Restricciones: 2x + y ≤ 100 (carpintería), x + y ≤ 80 (acabado), x ≥ 0, y ≥ 0.
Intersección de 2x + y = 100 y x + y = 80: restando, x = 20, y = 60.