Determinantes, Cramer, Gauss, discusión - Ejercicios y resumen

Determinantes y sistemas: ejercicios y resumen

En esta lección repasamos lo esencial de determinantes, rango y sistemas de ecuaciones lineales y lo practicamos con ejercicios resueltos del tipo que aparece en la prueba de acceso a la universidad.

Resumen de la teoría

• Determinante de orden 2: |a b; c d| = ad − bc. De orden 3: regla de Sarrus o desarrollo por los adjuntos de una fila o columna.
• Propiedades: si dos filas son iguales o proporcionales, el determinante es 0; al intercambiar dos filas, cambia de signo; si una fila se multiplica por k, el determinante se multiplica por k; por tanto, para una matriz de orden n, |k · A| = kⁿ · |A|. Además |A · B| = |A| · |B| y |A^t| = |A|.
• Inversa: A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0.
• Rango: orden del mayor menor no nulo.
• Rouché-Frobenius (n incógnitas): rg A = rg A* = n → SCD; rg A = rg A* < n → SCI; rg A ≠ rg A* → SI.
• Cramer: si |A| ≠ 0, x_i = |A_i|/|A|.
• Gauss: escalonar la matriz ampliada con operaciones entre filas y resolver de abajo arriba.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (propiedades). Si A es una matriz de orden 3 con |A| = 5, ¿cuánto vale |2A|? Al multiplicar la matriz por 2 se multiplican por 2 sus tres filas, luego |2A| = 2³ · 5 = 40 (y no 10, que es el error habitual).

Ejemplo 2 (rango). Calcula el rango de la matriz de filas (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 0, 1).

• La segunda fila es el doble de la primera, así que el determinante de orden 3 vale 0 y el rango es menor que 3.
• El menor formado por las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 2 es |1 2; 1 0| = 0 − 2 = −2 ≠ 0.
• Por tanto, rg = 2.

Ejemplo 3 (Gauss). Resolvemos x + y + z = 3; 2x + y − z = 2; x − y + 2z = 2.

• F2 − 2F1: −y − 3z = −4. F3 − F1: −2y + z = −1.
• De la nueva segunda ecuación, y = 4 − 3z. Sustituimos en la tercera: −2(4 − 3z) + z = −1, es decir, 7z = 7, z = 1.
• y = 4 − 3 = 1 y x = 3 − 1 − 1 = 1. Solución: (1, 1, 1). Comprobación: 2 + 1 − 1 = 2 y 1 − 1 + 2 = 2.

Ejemplo 4 (discusión con parámetro). Discute según a el sistema ax + y + z = 1; x + ay + z = 1; x + y + az = 1.

• |A| = a³ − 3a + 2 = (a − 1)²(a + 2). Se anula para a = 1 y a = −2.
• Si a ≠ 1 y a ≠ −2: rg A = rg A* = 3: SCD.
• Si a = 1: las tres ecuaciones son x + y + z = 1. rg A = rg A* = 1 < 3: SCI (dos parámetros).
• Si a = −2: rg A = 2 (el menor |−2 1; 1 −2| = 3 ≠ 0). Al sumar las tres ecuaciones se obtiene 0 = 3, imposible; por tanto rg A* = 3 y el sistema es SI.

Ejemplo 5 (problema). En una tienda, 2 cuadernos y 1 bolígrafo cuestan 5 €, y 1 cuaderno y 3 bolígrafos cuestan 5 €. Sistema: 2c + b = 5; c + 3b = 5. |A| = 2 · 3 − 1 · 1 = 5. Por Cramer: c = (5 · 3 − 1 · 5)/5 = 10/5 = 2 € y b = (2 · 5 − 5 · 1)/5 = 5/5 = 1 €. Cada cuaderno cuesta 2 € y cada bolígrafo, 1 €.

Ejercicios